[论文解读] Equations for Chow and Hilbert Quotients

Angela Gibney, Diane Maclagan|ArXiv.org|Jul 12, 2007

Polynomial and algebraic computation参考文献 23被引用 7

一句话总结

本文通过在辅助toric簇的Cox环中对$X$的定义理想进行齐次化，给出了在torus作用下投影概形$X$的Chow与Hilbert商的显式方程。关键贡献在于这些商的GIT构造，以及通过GIT变化实现$X$的所有$T^d$-GIT商的方法，进而应用该框架证明$\overline{M}_{0,n}$可通过tropical几何方法嵌入到光滑toric簇中，其方程由齐次化的Plücker关系给出。

ABSTRACT

We give explicit equations for the Chow and Hilbert quotients of a projective scheme X by the action of an algebraic torus T in an auxiliary toric variety. As a consequence we provide GIT descriptions of these canonical quotients, and obtain other GIT quotients of X by variation of GIT quotient. We apply these results to find equations for the moduli space \bar{M}_{0,n} of stable genus zero n-pointed curves as a subvariety of a smooth toric variety defined via tropical methods.

研究动机与目标

• 为在$T^d$作用下的投影概形$X$提供Chow与Hilbert商的显式方程。
• 建立这些商的GIT构造，并证明$X$的所有$T^d$-GIT商均通过GIT变化从Chow与Hilbert商中产生。
• 将该框架应用于模空间$\overline{M}_{0,n}$，证明其可通过tropical方法嵌入为光滑toric簇中的子概形。
• 通过phylogenetic trees空间的toric簇实现$\overline{M}_{0,n}$的几何实现，其方程由Plücker关系导出。

提出的方法

• 该方法使用toric子簇$X_\Sigma \subset X_{\Sigma^\star}$的Cox环$S = \Bbbk[y_1, \dots, y_r]$，其中$X_{\Sigma^\star}$是$\mathbb{P}^m$关于$T^d$的toric Chow或Hilbert商的正规化。
• 通过相对于$\operatorname{Cl}(X_\Sigma)$-加权的饱和化，计算$S$中商$X \mathbin{//}^\star T^d$的理想，即对$I(X)$的生成元进行齐次化并以$S$中所有变量的乘积进行饱和化。
• 该构造依赖于tropical几何，将$\overline{M}_{0,n}$嵌入到一个光滑toric簇$X_\Delta$中，其扇面对应于phylogenetic trees的空间。
• 在Cox环$S = \Bbbk[x_I : I \in \mathcal{I}]$中，通过使用$S$的加权方式对Plücker关系进行齐次化，得到$\overline{M}_{0,n}$的方程，其中$\mathcal{I}$索引边界除子。
• 通过群$H = \operatorname{Hom}(\operatorname{Cl}(X_\Sigma), \Bbbk^\times)$建立GIT商结构，其中$X \mathbin{//}^\star_n T^d$被实现为$Z(I) \mathbin{//}_\alpha H$，其中$\alpha$位于特定开锥$\mathcal{G} \subset \operatorname{Cl}(X_\Sigma) \otimes \mathbb{R}$中。
• 通过GIT变化证明，所有$T^{n-1}$-GIT商的$G(2,n)$均可通过在$\mathcal{G}$外部选择不同的$\alpha$，从$\overline{M}_{0,n}$中获得。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为$T^d$-等变投影概形$X \subset \mathbb{P}^m$在toric环境空间中的Chow与Hilbert商给出显式方程？
• RQ2 是否能使用toric子簇的Cox环，对Chow与Hilbert商$X \mathbin{//}^\star T^d$建立GIT构造？
• RQ3 所有$T^{n-1}$-GIT商的Grassmannian $G(2,n)$是否均可通过$\overline{M}_{0,n}$的GIT变化获得？
• RQ4 模空间$\overline{M}_{0,n}$是否允许一个toric嵌入，使得其在Cox环中的方程由齐次化Plücker关系生成？
• RQ5 有效锥是否为Mori Dream区域，且能否通过具有同构Picard群与有效锥的toric嵌入实现？

主要发现

• 在toric子簇$X_\Sigma$的Cox环$S$中，Chow或Hilbert商$X \mathbin{//}^\star_n T^d$的理想，通过相对于$\operatorname{Cl}(X_\Sigma)$-加权的齐次化和以$S$中所有变量乘积的饱和化，得到$X$的定义理想的齐次化。
• Chow与Hilbert商在$Z(I) \mathbin{//}_\alpha H$中具有GIT构造，其中$\alpha$位于非零锥$\mathcal{G} \subset \operatorname{Cl}(X_\Sigma) \otimes \mathbb{R}$的相对内部。
• 所有$T^{n-1}$-GIT商的$G(2,n)$均可表示为$Z(I_{\overline{M}_{0,n}}) \mathbin{//}_\alpha H$，对合适的$\alpha$，表明GIT变化可从$\overline{M}_{0,n}$中产生所有此类商。
• 模空间$\overline{M}_{0,n}$可嵌入到一个光滑toric簇$X_\Delta$中，其扇面为phylogenetic trees的空间，其在Cox环$S = \Bbbk[x_I : I \in \mathcal{I}]$中的方程由齐次化Plücker关系给出。
• 当$n \geq 5$时，$S$中的理想$I_{\overline{M}_{0,n}}$由齐次化Plücker关系生成，且$\overline{M}_{0,n} \cong Z(I_{\overline{M}_{0,n}}) \mathbin{//}_\alpha H$对$\alpha \in \operatorname{relint}(\mathcal{G})$成立，确认了GIT实现。
• 当$n \geq 6$时，$\overline{M}_{0,n}$的有效锥不等于$X_\Delta$的有效锥，但边界除子锥$E$仍可能是Mori Dream区域，且$S/I_{\overline{M}_{0,n}}$可能对所有$D \in E$同构于$H^0(\overline{M}_{0,n}, D)$。