[论文解读] Equidistribution in Families of Abelian Varieties and Uniformity

Lars Kühne|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2021

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 60被引用 15

一句话总结

本文利用阿莱克谢耶夫几何中的等分布技术以及迪米特罗夫、高和哈贝格尔的最新进展，建立了在雅可比簇中嵌入的亏格 $ g \geq 2 $ 曲线上的扭点的统一有界性。证明了此类曲线上扭点的数量在亏格和雅可比簇的 Mordell-Weil 秩方面是统一有界的，从而给出了 Mordell 猜想的统一版本。

ABSTRACT

Using equidistribution techniques from Arakelov theory as well as recent results obtained by Dimitrov, Gao, and Habegger, we deduce uniform results on the Manin-Mumford and the Bogomolov conjecture. For each given integer $g \geq 2$, we prove that the number of torsion points lying on a smooth complex algebraic curve of genus $g$ embedded into its Jacobian is uniformly bounded. Complementing recent works of Dimitrov, Gao, and Habegger, we obtain a rather uniform version of the Mordell conjecture as well. In particular, the number of rational points on a smooth algebraic curve defined over a number field can be bounded solely in terms of its genus and the Mordell-Weil rank of its Jacobian.

研究动机与目标

• 建立在雅可比簇中嵌入的光滑复代数曲线（亏格 $ g \geq 2 $）上扭点数量的统一有界性。
• 将阿莱克谢耶夫理论中的等分布技术推广至基概形 $ S $ 上的阿贝尔簇族。
• 推导出仅依赖于亏格和 Mordell-Weil 秩的 Mordell 猜想的统一版本。
• 在阿贝尔簇族中满足非退化条件时，证明相对等分布猜想（REC）。
• 将这些结果应用于推导曲线族中 Manin-Mumford 和 Bogomolov 猜想的统一性。

提出的方法

• 为子概形 $ X \subset A $ 引入归一化阿莱克谢耶夫高度的极限 $ \widehat{h}_{\iota}(X) = \limsup_{k \to \infty} \frac{h_{\overline{\mathcal{O}}(1)}(\overline{X}_k)}{n^{2k}} $，推广了 Néron-Tate 高度。
• 将贝蒂秩 $ \mathrm{rank}_{\mathrm{Betti}}(X,x) $ 定义为 $ X $ 在贝蒂映射下的微分像的实维数，用于定义非退化性。
• 在阿贝尔簇族中对非退化子概形上的小高度点应用等分布，使用每个 $ \nu \in \Sigma(K) $ 处的解析空间 $ X_{\mathbb{C}_\nu}^{\mathrm{an}} $。
• 将相对等分布猜想（REC）作为关键假设，其内容为：当 $ \widehat{h}_{\iota}(x_i) \to \widehat{h}_{\iota}(X) $ 时，$ X $-通用序列相对于自然测度 $ \mu_\nu $ 等分布。
• 通过辅助概形 $ Z^{(m+1)m' - 1} $ 的反证法来控制扭集 $ \mathcal{S}_s $ 的大小，依赖于高度和等分布估计。
• 利用迪米特罗夫、高和哈贝格尔在 Bogomolov 和 Manin-Mumford 设置中关于统一有界性的结果，填补了统一 Mordell 猜想的空白。

实验结果

研究问题

• RQ1 在雅可比簇中嵌入的亏格 $ g \geq 2 $ 曲线上的扭点数量是否可以在所有此类曲线上统一有界，且与曲线的具体模型无关？
• RQ2 相对等分布猜想（REC）是否对基概形 $ S $ 上阿贝尔簇族中的非退化子概形成立，即小高度点是否等分布？
• RQ3 Mordell 猜想能否被强化为仅依赖于亏格和雅可比簇 Mordell-Weil 秩的有理点统一有界性？
• RQ4 在仅给定亏格和秩约束的阿贝尔簇族中，是否存在扭点数量的统一有界性？
• RQ5 阿莱克谢耶夫几何中的等分布技术能否用于推导算术几何中有效的统一性结果？

主要发现

• 在雅可比簇中嵌入的光滑复代数曲线（亏格 $ g \geq 2 $）上的扭点数量是统一有界的，且对每个固定的 $ g $ 与曲线本身无关。
• 建立了 Mordell 猜想的统一版本：在数域上的曲线上有理点的数量仅由其亏格和雅可比簇的 Mordell-Weil 秩决定。
• 本文证明：对每个 $ g \geq 2 $，存在常数 $ c_{19} $，使得 $ \#\mathcal{S}_s \leq c_{19} $，其中 $ \mathcal{S}_s $ 是在 $ s \in S(\overline{\mathbb{Q}}) $ 上的纤维上的扭点集。
• 该证明依赖于相对等分布猜想（REC），假设其对阿贝尔簇族中的非退化子概形成立。
• 该论证使用高度归一化和通过辅助概形 $ Z^{(m+1)m' - 1} $ 的反证法，证明 $ \mathcal{S}_s^{(m+1)m'} \subseteq Z^{(m+1)m' - 1}_s(\overline{\mathbb{Q}}) $，从而导出统一有界性。
• 该结果依赖于 REC 和迪米特罗夫、高和哈贝格尔的统一性结果，但在这些假设下提供了完整的统一有界性。