[论文解读] Equidistributions of MAJ and STAT over pattern avoiding permutations

Joanna N. Chen|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2017

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文構造了一個從 $S_n(213)$ 到 $S_n(231)$ 的新雙射，將統計量對 $(maj, stat)$ 映射為 $(stat, maj)$，為 Amini 對模式避免排列上馬洪統計量的等分布性猜想提供了雙射證明。主要結果在這些排列類之間建立了主要指數與 $stat$ 統計量之間的直接對稱性。

ABSTRACT

Babson and Steingr\'ımsson introduced generalized permutation patterns and showed that most of the Mahonian statistics in the literature can be expressed by the combination of generalized pattern functions. Particularly, they defined a new Mahonian statistic in terms of generalized pattern functions, which is denoted $stat$. Recently, Amini investigated the equidistributions of these Mahonian statistics over sets of pattern avoiding permutations. Moreover, he posed several conjectures. In this paper, we construct a bijection from $S_n(213)$ to $S_n(231)$, which maps the statistic $(maj,stat)$ to the statistic $(stat,maj)$. This allows us to give solutions to some of Amini's conjectures.

研究动机与目标

• 解決 Amini 對模式避免排列上馬洪統計量等分布性的開放猜想。
• 建立 $S_n(213)$ 與 $S_n(231)$ 之間的雙射連結，使統計量 $maj$ 與 $stat$ 相互交換。
• 提供先前僅透過生成函數或計數方法提出的等分布結果之構造性、組合學證明。
• 深化對廣義排列模式及其在馬洪統計量等分布性中角色的理解。
• 提出一種不保持 $adj$ 統計量的新雙射，從而與 Burstein 及 Chen-Li 的先前構造區分開來。

提出的方法

• 基於排列首個元素 $k$ 的區塊分解，構造映射 $\alpha: S_n(213) \to S_n(231)$。
• 使用遞歸分解 $\pi = k\pi'\pi''$，其中 $\pi'$ 包含小於 $k$ 的元素，$\pi''$ 包含大於 $k$ 的元素。
• 應用變換 $\phi$ 透過反轉與移位機制重排區塊 $\pi'$ 與 $\pi''$，以保持下降結構。
• 利用恆等式 $maj(\pi) + stat(\pi) = (n+1)des(\pi) - (k-1)$ 來連結雙射中 $maj$ 與 $stat$ 的關係。
• 利用 $des(\alpha(\pi)) = des(\pi)$ 與 $ides(\alpha(\pi)) = ides(\pi)$ 的性質，維持下降對稱性。
• 透過區塊分解與雙射，推導生成函數 $M_n(q,t) = \sum_{\pi \in S_n(213)} q^{maj(\pi)} t^{des(\pi)}$ 的遞迴關係。

实验结果

研究问题

• RQ1 Amini 訪問的 $S_n(213)$ 上的統計量 $maj$ 是否與 $S_n(231)$ 上的 $stat$ 等分布？
• RQ2 能否構造一個雙射證明，顯示 $maj$ 與 $stat$ 在 $S_n(213)$ 與 $S_n(231)$ 之間的映射下相互交換？
• RQ3 由雙射推導出的 $M_n(q,t)$ 遞迴關係是否與已知的 $S_n(213)$ 生成函數恆等式一致？
• RQ4 與 Burstein 及 Chen-Li 的先前構造相比，此新雙射在保留統計量方面有何差異？
• RQ5 能否在此框架下證明 $mak$ 統計量在 $S_n(132)$ 上的等分布性與 $stat$ 在 $S_n(213)$ 上的等分布性？

主要发现

• 映射 $\alpha: S_n(213) \to S_n(231)$ 是一個定義良好的雙射，滿足 $maj(\pi) = stat(\alpha(\pi))$ 與 $stat(\pi) = maj(\alpha(\pi))$。
• 此雙射保持下降數：$des(\alpha(\pi)) = des(\pi)$，且滿足 $ides(\alpha(\pi)) = ides(\pi)$。
• 生成函數 $M_n(q,t)$ 對 $S_n(213)$ 滿足遞迴關係 $M_n(q,t) = M_{n-1}(q,t) + \sum_{k=1}^{n-1} q^k t M_{k-1}(q, qt) M_{n-k}(q, q^k t)$。
• 此構造解決了猜想 1.2：$\sum_{\pi \in S_n(213)} q^{maj(\pi)} = \sum_{\pi \in S_n(231)} q^{stat(\pi)}$。
• 結果顯示 $S_n(213)$ 上的聯合分布 $(maj, stat)$ 與 $S_n(231)$ 上的 $(stat, maj)$ 等分布。
• 此雙射並非 Burstein 或 Chen-Li 之前映射的限制，顯示其在等分布性研究中具有獨特的結構方法。