[论文解读] Generalized pattern avoidance with additional restrictions

Sergey Kitaev|ArXiv.org|May 20, 2002

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文研究了在排列的前k个或后k个元素上附加限制条件的广义排列模式避免问题。建立了避免特定模式的排列与结构化集合划分之间的双射关系，并推导出避免指定初始或末尾递增/递减子序列的3字母广义模式的指数生成函数（e.g.f.）。一个关键结果是：以12…k结尾的1-32避免n-排列的数量是贝尔数的线性组合。

ABSTRACT

Babson and Steingr\'ımsson introduced generalized permutation patterns that allow the requirement that two adjacent letters in a pattern must be adjacent in the permutation. We consider n-permutations that avoid the generalized pattern 1-32 and whose k rightmost letters form an increasing subword. The number of such permutations is a linear combination of Bell numbers. We find a bijection between these permutations and all partitions of an $(n-1)$-element set with one subset marked that satisfy certain additional conditions. Also we find the e.g.f. for the number of permutations that avoid a generalized 3-pattern with no dashes and whose k leftmost or k rightmost letters form either an increasing or decreasing subword. Moreover, we find a bijection between n-permutations that avoid the pattern 132 and begin with the pattern 12 and increasing rooted trimmed trees with n+1 nodes.

研究动机与目标

• 研究n-排列避免广义3-模式，并对最右或最左k个元素施加递增或递减的附加约束。
• 建立以12…k结尾的1-32避免排列与满足特定条件的(n-1)元素集合的一个标记子集的划分之间的双射关系。
• 推导出避免3字母广义模式（无连字符）且以单调子串（长度为k）开头或结尾的排列数量的指数生成函数（e.g.f.）。
• 证明某些具有初始/末尾限制的模式避免问题等价于同时避免多个经典模式。
• 将此类排列的计数与组合结构（如增加的有根修剪树和集合划分）联系起来。

提出的方法

• 通过将排列递归分解为前缀σ、数字1和后缀τ（τ为递增，σ避免1-32）来推导二项式系数与贝尔数之和的表达式。
• 应用Claesson（2002）的已知结果：避免1-32的i-排列数量为第i个贝尔数Bi，并结合从前缀中选择元素的二项式方法。
• 通过分析最大元素n+1在排列中的位置，推导出指数生成函数的微分方程，并将其与已知生成函数关联。
• 引入函数T(x)，使得T'(x) = D(x) + 1，其中D(x)是相关类的指数生成函数，利用它求解生成函数的递推关系。
• 应用平凡对称性（反转、补全及其复合）将结果推广到等价的模式类。
• 在指数生成函数的推导中使用迭代积分与指数积分，特别涉及∫₀ˣ e⁻ᵗ²/² dt及相关的有理函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 以12…k结尾且避免广义模式1-32的n-排列数量是多少？
• RQ2 此类排列如何与满足特定结构约束的(n-1)元素集合的划分（其中一个子集被标记）建立双射关系？
• RQ3 避免3字母广义模式（无连字符）且以单调子串（长度为k）开头或结尾的n-排列数量的指数生成函数是什么？
• RQ4 是否存在132避免n-排列以12开头的组合解释，以树结构表示？
• RQ5 附加限制（如以12…k开头）如何将单模式避免转化为多个模式的同时避免？

主要发现

• 以12…k结尾且避免1-32的n-排列数量为∑ᵢ₌₀ⁿ⁻ᵏ C(n-1, i) Bᵢ，即贝尔数的线性组合。
• 建立了这些排列与满足特定条件的(n-1)元素集合的划分（其中一个子集被标记）之间的双射关系，条件涉及被标记子集中最小元素的位置。
• 对(n-1)元素集合进行划分并标记一个部分的总数，等于以12结尾的1-32避免n-排列的数量，这是贝尔数与第二类斯特林数之间的一个新恒等式。
• 以12开头的132避免n-排列的数量等于具有n+1个节点的增加的有根修剪树的数量。
• 当k ≥ 2时，以12…k开头的132避免n-排列的指数生成函数由涉及T(x)和Cₖ(x)的嵌套积分表达式给出，其中T(x) = -x²/2 + ∫₀ˣ [e⁻ᵗ²/² / (1 - ∫₀ᵗ e⁻ˢ²/² ds)] dt。
• 避免123且以12…k结尾的排列的指数生成函数为(√3 / 2) × eˣ/² / cos( (√3 / 2)x + π/6 )，当k=1时成立；其他模式和k值下也得到类似表达式。