[论文解读] Equiramified deformations of covers in positive characteristic

Rachel Pries|ArXiv.org|Mar 2, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用 6

一句话总结

本文研究正特征下曲线的强烈分歧覆盖的等分歧形变，聚焦于分支点集与分歧过滤保持不变的形变模空间。通过构造一个作为形式群概形乘积的子概形的显式模空间，给出了该空间的克鲁尔维数的紧致上下界，其表达式依赖于分歧过滤；当伽罗瓦群为阿贝尔 $p$-群时，利用类域论实现上界，从而得到维数的精确公式。

ABSTRACT

Suppose $ϕ$ is a wildly ramified cover of germs of curves defined over an algebraically closed field of characteristic p. We study unobstructed deformations of $ϕ$ in equal characteristic, which are equiramified in that the branch locus is constant and the ramification filtration is fixed. We show that the moduli space $M_ϕ$ parametrizing equiramified deformations of $ϕ$ is a subscheme of an explicitly constructed scheme. This allows us to give an explicit upper and lower bound for the Krull dimension $d_ϕ$ of $M_ϕ$. These bounds depend only on the ramification filtration of $ϕ$. When $ϕ$ is an abelian p-group cover, we use class field theory to show that the upper bound for $d_ϕ$ is realized.

研究动机与目标

• 理解正特征下曲线的强烈分歧伽罗瓦覆盖的形变理论，其中经典特征 0 的结果因存在无限多个无分歧覆盖以及导子等更精细的分歧不变量而失效。
• 分析在相等特征形变条件下，保持分支点集与分歧过滤不变的无阻碍等分歧形变。
• 构造一个显式的模空间 ${\cal M}_{\phi}$，用于参数化此类等分歧形变，并以覆盖的分歧过滤为基准确定其克鲁尔维数。
• 建立 ${\cal M}_{\phi}$ 的克鲁尔维数 $d_{\phi}$ 的紧致上下界，并确定何时实现上界。
• 将普通曲线和 $A\rtimes\mu_m$-覆盖的结果推广至更一般的 $p$-群覆盖，特别是阿贝尔 $p$-群，利用类域论。

提出的方法

• 将模空间 ${\cal M}_{\phi}$ 构造为多个概形乘积的子概形，其中每个概形对应于覆盖 $\phi$ 的分歧过滤的一个分量。
• 利用形式粘接与局部/整体形变理论，将问题约化为研究具有单峰群 $I$ 的曲线芽的形变。
• 通过伽罗瓦作用于子覆盖，分析支配固定商的 $I$-伽罗瓦覆盖族，表明其构成一个 $A\rtimes\mu_m$-覆盖群的主齐性空间。
• 对于阿贝尔 $p$-群覆盖，应用类域论以实现 $d_{\phi}$ 的上界，表明 ${\cal M}_{\phi}$ 同构于 $\hat{\mathbb{G}}_a$-概形的乘积模去 $\mathbb{F}_p^*$-作用。
• 利用阿廷-施赖埃尔方程描述显式形变族，例如 $v^2 - v = u + a_1u$，$w^2 + w = v + a_2u$，$y^2 - y = w^3 + a_3u$，以构造常值族并分析纤维的连通性。
• 应用正规化与标准型变换以确定纤维的亏格与连通性，通过分析阿廷-施赖埃尔方程中首项的次数。

实验结果

研究问题

• RQ1 参数化正特征下强烈分歧覆盖 $\phi$ 的等分歧形变的模空间 ${\cal M}_{\phi}$ 的结构是什么？
• RQ2 如何根据 $\phi$ 的分歧过滤来界定 ${\cal M}_{\phi}$ 的克鲁尔维数 $d_{\phi}$？
• RQ3 在何种群论条件下，$d_{\phi}$ 的上界被实现？
• RQ4 能否构造显式形变族以实现 ${\cal M}_{\phi}$ 的完整维数，特别是对于阿贝尔 $p$-群覆盖？
• RQ5 分歧不变量如低跳和导子如何影响形变空间与总覆盖的亏格？

主要发现

• 等分歧形变的模空间 ${\cal M}_{\phi}$ 是一个乘积中显式构造的概形的子概形，每个分量与 $\phi$ 的分歧过滤中的一个分歧跳跃相对应。
• ${\cal M}_{\phi}$ 的克鲁尔维数 $d_{\phi}$ 满足仅依赖于 $\phi$ 的分歧过滤的显式上下界。
• 对于阿贝尔 $p$-群覆盖，$d_{\phi}$ 的上界可被实现，且 ${\cal M}_{\phi}$ 同构于 $\hat{\mathbb{G}}_a$-概形的乘积模去 $\mathbb{F}_p^*$-作用。
• 在阿贝尔 $p$-群情形下，利用类域论与高阶分歧过滤的断裂点，导出 $d_{\phi}$ 的精确公式。
• 在 $\mathbb{P}^1$ 上 $D_8$-伽罗瓦覆盖（单峰群为 $D_8$）的情形下，构造了一个二维的等分歧形变族，表明 $d_{\hat{\Phi}} = 2$。
• 维数界是紧致的：对于 $D_8$-覆盖，有 $1 \leq d_{\hat{\Phi}} \leq 3$，实际维数为 2，且上界在一般情形下不被实现，如四元数群例子所示。