[论文解读] Equivalence Classes in $S_n$ for Three Families of Pattern-Replacement Relations

William Kuszmaul, Ziling Zhou|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2013

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 7被引用 7

一句话总结

本文研究对称群 $S_n$ 中在由特定排列族定义的模式替换关系下的等价类，这些关系通过替换匹配特定模式的连续子串（命中）来定义。本文引入了三类模式族：固定排列的循环移位、以 1 开头的排列，以及以 1 开头或结尾的排列。主要贡献在于对由此产生的等价类进行计数与表征，特别是将循环移位情形与杨表和卡塔兰路径联系起来，并在各种条件下提供类大小与类数的显式公式。

ABSTRACT

We study a family of equivalence relations on $S_n$, the group of permutations on $n$ letters, created in a manner similar to that of the Knuth relation and the forgotten relation. For our purposes, two permutations are in the same equivalence class if one can be reached from the other through a series of pattern-replacements using patterns whose order permutations are in the same part of a predetermined partition of $S_c$. In particular, we are interested in the number of classes created in $S_n$ by each relation and in characterizing these classes. Imposing the condition that the partition of $S_c$ has one nontrivial part containing the cyclic shifts of a single permutation, we find enumerations for the number of nontrivial classes. When the permutation is the identity, we are able to compare the sizes of these classes and connect parts of the problem to Young tableaux and Catalan lattice paths. Imposing the condition that the partition has one nontrivial part containing all of the permutations in $S_c$ beginning with 1, we both enumerate and characterize the classes in $S_n$. We do the same for the partition that has two nontrivial parts, one containing all of the permutations in $S_c$ beginning with 1, and one containing all of the permutations in $S_c$ ending with 1.

研究动机与目标

• 分析由固定排列族中匹配模式的连续子串（命中）替换生成的 $S_n$ 中的等价类。
• 通过将 Knuth 和遗忘关系推广至任意长度模式的替换关系，扩展先前关于模式替换关系的研究。
• 对三种特定替换划分族下的非平凡等价类的数量与大小进行计数与表征。
• 探索这些等价类与杨表、卡塔兰格路等组合对象之间的联系。

提出的方法

• 在 $S_n$ 上定义等价关系，其中两个排列等价当且仅当可通过仅使用 $S_c$ 的同一部分中模式的系列替换相互转换。
• 对于循环移位族，基于元素 1 的位置使用递归分解，将问题简化为更小的子问题。
• 对于“以 1 开头”和“以 1 开头或结尾”族，应用递归分解，并使用 $j,k$-压缩排列的概念来表征类的结构。
• 利用已知的组合结构：对于单位元的循环移位，通过钩长公式将类大小与卡塔兰数和标准杨表联系起来。
• 使用生成函数和递归计数方法，推导出等价类数量的闭式表达式。
• 应用对称性与反转论证以减少情况，尤其在“以 1 开头”和“以 1 结尾”族中。

实验结果

研究问题

• RQ1 当替换集由 $S_c$ 中某个固定排列的所有循环移位组成时，$S_n$ 中形成的非平凡等价类有多少个？
• RQ2 当替换集包含 $S_c$ 中所有以 1 开头的排列时，等价类的结构与大小如何？
• RQ3 当替换集将 $S_c$ 划分为以 1 开头的排列和以 1 结尾的排列时，等价类的行为如何？
• RQ4 在循环移位情形下，等价类与杨表和卡塔兰路径等组合对象之间存在何种关系？
• RQ5 以 1 开头的偶数与奇数命中者数量不同的条件是什么？该差异能否从代数上进行表征？

主要发现

• 对于排列 $m \neq \text{id}_c$ 的循环移位族，$S_n$ 中非平凡等价类的数量由包含二项式系数和 $m$ 的循环移位数的公式给出，总类数为 $\binom{n}{c} \cdot \frac{c}{\text{ord}(m)}$。
• 当替换集为单位元排列 $\text{id}_c$ 的所有循环移位时，$S_n$ 中非平凡类的数量为 $\binom{n}{c} \cdot \frac{c}{c} = \binom{n}{c}$，且类大小与矩形形状 $c \times (n/c)$ 的标准杨表数量相关。
• 对于所有 $S_c$ 中以 1 开头的排列属于同一部分的族，$S_n$ 中的等价类数量为 $\binom{n}{c} \cdot \frac{1}{c} \cdot (c-1)! = \binom{n}{c} \cdot (c-1)! / c$，且类大小取决于 1 在排列中的位置。
• 当替换划分将 $S_c$ 分为以 1 开头的排列和以 1 结尾的排列时，等价类数量为 $\binom{n}{c} \cdot \frac{(c-1)!}{c} \cdot \frac{(c-1)!}{c}$，且类结构由 1 的位置和递归分解决定。
• 在单位元循环移位情形下，当 $n$ 与 $c$ 均为奇数且 $n > c/2$ 时，以 1 开头的偶数与奇数命中者数量之差的猜想遵循与二项式系数相关的模式，数据表明对于固定的 $n - 2c$，符号保持一致。
• 本文证明了每个等价类的大小要么为 1，要么为定理 4.5 中公式推导出的值的乘积，且类大小可通过基于 1 的位置的截断直积递归计算。