[论文解读] Equivalence of the local and global versions of the $L^p$-Brunn-Minkowski inequality

Eli Putterman|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2019

Point processes and geometric inequalities参考文献 31被引用 5

一句话总结

本文建立了 $ackslash mathbb extigackslash ext extasciitilde R^n$ 中中心对称凸体的 $L^p$-Brunn-Minkowski 不等式全局版本与局部版本之间的等价性，证明了对于 $p \in (0,1)$，全局不等式猜想可由局部版本推出，反之亦然。关键贡献在于在二维情形下证明了 $p=0$ 时的局部 $L^p$-Brunn-Minkowski 不等式，从而通过 $L^p$-组合的强同构多面体与球面调和分析，给出了平面中对数-Brn-Minkowski 不等式的新证明。

ABSTRACT

By studying $L^p$-combinations of strongly isomorphic polytopes, we prove the equivalence of the $L^p$-Brunn-Minkowski inequality conjectured by Böröczky, Lutwak, Yang and Zhang to the local version of the inequality studied by Colesanti, Livshyts, and Marsiglietti and by Kolesnikov and Milman, settling a conjecture of the latter authors. In addition, we prove the local inequality in dimension $2$, yielding a new proof of the $L^p$-Brunn-Minkowski inequality in the plane.

研究动机与目标

• 解决 Kolesnikov 与 Milman 提出的猜想，即局部 $L^p$-Brunn-Minkowski 不等式蕴含中心对称凸体的全局 $L^p$-Brunn-Minkowski 不等式。
• 在二维情形下证明 $p=0$ 时的局部 $L^p$-Brunn-Minkowski 不等式，从而为平面中的对数-Brn-Minkowski 不等式提供新证明。
• 通过 $L^p$-组合的强同构多面体，建立全局 $L^p$-Brunn-Minkowski 猜想与局部版本之间的等价性。
• 证明二维情形下 $p=0$ 的局部不等式可通过球面上的积分不等式推出全局对数-Brn-Minkowski 不等式。

提出的方法

• 通过强同构多面体的 $L^p$-组合分析 $L^p$-Minkowski 组合下体积的行为。
• 应用球面调和理论分析沿对数-Minkowski 组合的体积泛函的二阶导数，将问题转化为球面上的积分不等式。
• 该方法涉及计算体积泛函 $f(\lambda) = \log \operatorname{vol}((1-\lambda)K_0 +_0 \lambda K_1)$ 的二阶变分，并证明当 $p=0$ 时 $f''(0) \leq 0$。
• 通过在 Hausdorff 度量下利用逼近与连续性，证明 $C^2_+$ 体的局部不等式蕴含全局不等式，从而建立局部与全局不等式之间的等价性。
• 论文运用混合体积理论与支持函数的性质，推导并操作涉及 $V(zh_K[1], K[n-1])$、$V(zh_K[2], K[n-2])$ 与 $V(z^2 h_K[1], K[n-1])$ 的不等式。
• 一个关键技术步骤是将球面上的偶 $C^2$ 函数分解为 $C^2_+$ 凸体支持函数的差，从而将不等式从光滑情形推广至一般对称凸体。

实验结果

研究问题

• RQ1 局部 $L^p$-Brunn-Minkowski 不等式是否蕴含 $ackslash mathbb extigackslash ext extasciitilde R^n$ 中中心对称凸体的全局 $L^p$-Brunn-Minkowski 不等式？
• RQ2 能否在二维情形下证明 $p=0$ 时的局部 $L^p$-Brunn-Minkowski 不等式，从而为平面中的对数-Brn-Minkowski 不等式提供新证明？
• RQ3 对于 $p \in (0,1)$，局部 $L^p$-Brunn-Minkowski 不等式是否与全局 $L^p$-Brunn-Minkowski 猜想等价？
• RQ4 能否通过强同构多面体的 $L^p$-组合建立局部与全局版本之间的等价性？
• RQ5 球面调和分析与混合体积理论在证明 $p=0$ 时的局部不等式中起什么作用？

主要发现

• 在二维情形下证明了 $p=0$ 时的局部 $L^p$-Brunn-Minkowski 不等式，该结果蕴含平面中全局对数-Brn-Minkowski 不等式。
• 对于所有 $p \in (0,1)$，建立了全局 $L^p$-Brunn-Minkowski 猜想与局部版本之间的等价性，从而解决了 Kolesnikov 与 Milman 的猜想。
• 证明表明，$C^2_+$ 体的局部不等式通过 Hausdorff 度量下的逼近与连续性，可推出所有中心对称凸体的全局不等式。
• 通过分析对数-Minkowski 组合路径上体积泛函的二阶导数，论文导出了平面中对数-Brn-Minkowski 不等式的全新证明。
• 通过证明局部不等式蕴含全局不等式且反之亦然，结合函数分解与混合体积恒等式，建立了局部与全局不等式之间的等价性。
• 结果证实，二维情形下 $p=0$ 时的局部 $L^p$-Brunn-Minkowski 不等式与全局对数-Brn-Minkowski 不等式等价，其证明依赖于由球面调和分析导出的球面上的积分不等式。