[论文解读] Equivariant Chern characters with generalized coefficients

Paul-Émile Paradan, Michèle Vergne|ArXiv.org|Jan 18, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 19被引用 7

一句话总结

本文为紧致流形上具有紧致李群作用的横截椭圆微分算子，引入了具有 $C^{-\infty}$-系数的广义等变陈特征。通过使用 $K$-不变1-形式 $\lambda$ 对陈特征进行局部化，作者构造出一个紧支集、等变闭合的微分形式，其积分给出 $K$ 上的广义函数形式的等变指标，将阿蒂yah-辛格指标定理推广至非椭圆情形。

ABSTRACT

These notes form the next episode in a series of articles dedicated to a detailed proof of a cohomological index formula for transversally elliptic pseudo-differential operators and applications. The first two chapters are already available as math.DG/0702575 and arXiv:0711.3898. In this episode, we construct the relative equivariant Chern character of a morphism of vector bundles, localized by a one form, and we prove a multiplicativity property of this generalized Chern character

研究动机与目标

• 将阿蒂yah-辛格指标定理推广至具有紧致李群作用的紧致流形上的横截椭圆伪微分算子。
• 在存在 $K$-不变1-形式 $\lambda$ 的条件下，构造具有紧支集、等变系数的广义函数形式的陈特征。
• 证明广义陈特征在张量积与群作用下的乘法性与函子性。
• 通过与李维尔1-形式相关的指标的临界集，建立非交换局部化公式。
• 为在 $K$ 上计算广义函数提供一个上同调框架，即作为具有 $C^{-\infty}$ 系数的等变闭形式的积分。

提出的方法

• 定义临界集 $C_\lambda = f_\lambda^{-1}(0)$，其中 $f_\lambda: N \to \mathfrak{k}^*$ 是与 $K$-不变1-形式 $\lambda$ 相关的李群作用的矩映射。
• 构造具有 $C^{-\infty}$-系数的相对等变陈特征 $\operatorname{Ch}_{\rm rel}(\sigma, \lambda)$，其支集位于 $C_\lambda \cap F$，其中 $F$ 是态射 $\sigma$ 的奇异支集。
• 通过等变上同调的带支集的逆极限与相对上同调，定义 $\mathcal{C}^{-\infty}$-情形下的广义特征。
• 引入通过1-形式 $\lambda$ 的陈特征变形，导致在 $\mathbf{T}^*M$ 上积分的局部化指标公式。
• 利用伏尔泰拉展开与振荡积分的估计，证明广义陈特征在张量积与群作用下的乘法性。
• 建立关于振荡积分的 $L^2$-估计，涉及 $\operatorname{e}^{i\langle\xi,X\rangle}$、$\operatorname{e}^{-t^2 R(y)}$ 与紧支集的 $Q(X)$，且在 $t$ 与 $y$ 上具有统一的界。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将陈特征推广至具有广义函数系数的横截椭圆算子？
• RQ2 在将陈特征局部化为紧支集等变形式的过程中，$K$-不变1-形式 $\lambda$ 的作用是什么？
• RQ3 临界集 $C_\lambda = f_\lambda^{-1}(0)$ 与广义陈特征的支集有何关系？
• RQ4 在 $C^{-\infty}$-系数情形下，陈特征的乘法性是否能在张量积与群作用下保持？
• RQ5 当符号非椭圆时，为确保指标积分收敛，需要哪些估计？

主要发现

• 广义等变陈特征 $\operatorname{Ch}_{\rm c}(\sigma, \omega)(X)$ 是 $\mathbf{T}^*M$ 上具有 $C^{-\infty}$-系数的紧支集、闭合、等变微分形式，其支集靠近 $C_\omega \cap F$。
• 横截椭圆算子的指标由公式 $\operatorname{index}(P)(\exp X) = \int_{\mathbf{T}^*M} (2i\pi)^{-\dim M} \operatorname{Ch}_{\rm c}(\sigma, \omega)(X) \cdot \operatorname{Todd}(\mathbf{T}^*M)(X)$ 给出，结果为 $K$ 上的广义函数。
• 该构造满足乘法性：$\operatorname{Ch}_{\rm c}(\sigma_1 \otimes \sigma_2, \omega) = \operatorname{Ch}_{\rm c}(\sigma_1, \omega) \cdot \operatorname{Ch}_{\rm c}(\sigma_2, \omega)$，扩展了经典陈特征的性质。
• 命题5.9中的估计表明：$\|D(\partial_y) \cdot J_Q(\xi, y_1, y_2, t)\| \leq \text{cst} \cdot \|Q\|_{\mathcal{K}^{\prime\prime}, 2p} \cdot (1+\|y_2\|)^\mu (1+\|\xi\|^2)^{-p} (1+t)^{q+2r_W} \operatorname{e}^{-t^2 \operatorname{m}(R(y))}$，其中 $\mu$ 与 $p$ 无关。
• 该方法依赖于伏尔泰拉展开与振荡积分的统一估计，确保在参数 $X \in \mathfrak{k}$ 上的收敛性与光滑性。
• 该框架通过引入 $C^{-\infty}$-系数与矩映射局部化，将伯林-贝吉尼局部化公式推广至非交换与非椭圆情形。