[论文解读] Equivariant Dirac operators and differentiable geometric invariant theory

Paul-Émile Paradan, Michèle Vergne|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 34被引用 22

一句话总结

本文在紧致流形上具有哈密顿群作用的条件下，建立了用于等变狄拉克算子的可微几何不变量理论框架，将吉勒明-斯特恩伯格的结果推广至旋$^c$情形。证明了在流形$M$上扭曲狄拉克算子的等变指标可通过与可接受共轭轨道相关的约化空间的局部贡献来计算，其重数由这些约化空间的量子化确定，即使在 момента́льного отображения非凸或约化空间不连通的情况下也成立。

ABSTRACT

In this paper, we give a geometric expression for the multiplicities of the equivariant index of a spin-c Dirac operator.

研究动机与目标

• 将吉勒明-斯特恩伯格关于等变指标与几何不变量商的结果推广至可微与旋$^c$情形。
• 利用辛形式与共轭轨道，为狄拉克算子建立几何不变量理论。
• 通过引入平凡表示的祖先，解决约化空间中非凸性与不连通性的问题。
• 通过约化空间的量子化，提供等变指标中不可约表示重数的公式。

提出的方法

• 在具有$K$-不变旋$^c$结构的紧致、定向、偶维流形上使用等变狄拉克算子。
• 应用维滕形变分析横椭圆算子并局部化指标。
• 通过 момента́льного отображения的水平集与等部类型分解构造约化空间。
• 引入可接受共轭轨道与$\mathrm{Q}^{\mathrm{spin}}_K$映射，以参数化不可约表示。
• 在不动点子流形与共轭轨道上使用局部化公式计算重数。
• 计算旋$^c$丛的行列式线丛及其 момента́льного отображения，以分析约化空间结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在可微范畴中，能否通过几何商构造计算紧致流形上扭曲狄拉克算子的等变指标？
• RQ2 非凸 момента́льного отображения图像与不连通约化空间如何影响指标中平凡表示的重数？
• RQ3 可接受共轭轨道及其祖先在计算不可约表示重数中起什么作用？
• RQ4 维滕形变与局部化理论如何推广至横椭圆算子的旋$^c$情形？
• RQ5 即使约化空间为点或不连通，其量子化能否正确恢复指标中的重数？

主要发现

• 若一般稳定子代数$[\mathfrak{k}_M,\mathfrak{k}_M]$的半单部分不与任何$\mathfrak{h} \in \mathcal{H}_{\mathfrak{k}}$的$[\mathfrak{h},\mathfrak{h}]$匹配，则等变指标$\mathcal{Q}_K(M,\mathcal{S})$为零。
• 在$\mathcal{Q}_K(M,\mathcal{S})$中平凡表示的重数由$\mathrm{Q}^{\mathrm{spin}}(M_{\mathcal{P}_1}) + \mathrm{Q}^{\mathrm{spin}}(M_{\mathcal{P}_2})$之和给出，其中$\mathcal{P}_1, \mathcal{P}_2$是平凡表示的祖先。
• 对于旗流形$M \subset \mathrm{Gr}(2,4)$与线丛$\mathcal{L}(a,b)$，当$a \geq 4$且$b \geq 1$时，平凡表示的重数为$-2$，源于两个不同的约化空间。
• Kirwan集$\Phi_{a,b}(M) \cap \mathfrak{t}^*_{\geq 0}$非凸，由$[0,b+1]\omega_1 \cup [0,a-2]\omega_2$组成，表明公式成立并不要求凸性。
• 对应于$\mathcal{P}_i = K(\frac{3}{2}\omega_i)$的约化空间为点，其量子化各为$-1$，总和为$-2$，对应于平凡表示。
• 公式(5.37)正确预测$\pi_{k\omega_1 + \rho}$仅在$k \in \{0, \dots, b-1\}$时出现，$\pi_{j\omega_2 + \rho}$仅在$j \in \{0, \dots, a-4\}$时出现，且每个约化空间的量子化均为$-1$。