[论文解读] Index of transversally elliptic operators

Paul-Émile Paradan, Michèle Vergne|ArXiv.org|Apr 8, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 16被引用 20

一句话总结

本文为紧致流形上具有紧致李群作用的横截椭圆算子建立了上同调指标公式，采用具有紧支集系数的广义陈特征类与一种局部化指标积分至轨道法丛邻域的抛物形式 ${\rm Par}(\omega)$。关键结果将 Atiyah-Bott-Segal-Singer 公式推广至非椭圆的横截椭圆算子，通过在余切丛上使用等变形式进行积分，得到群上广义函数形式的指标的上同调表达式。

ABSTRACT

In 1996, Berline and Vergne gave a cohomological formula for the index of a transversally elliptic operator. In this paper we propose a new point of view where the cohomological formulae make use of equivariant Chern characters with generalized coefficients and with compact suppport. This kind of Chern characters was studied by the authors in a previous paper (see arXiv:0801.2822).

研究动机与目标

• 将 Atiyah-Bott-Segal-Singer 等变指标定理推广至横截椭圆算子，此时指标为广义函数而非光滑函数。
• 通过引入一种抛物形式 ${\rm Par}(\omega)$，使用紧支集代表，解决符号非椭时时等变形式积分的挑战。
• 在使用广义系数的等变上同调框架下，统一处理椭圆与横截椭圆算子的处理方法。
• 通过具有支集的陈特征类与代表上同调中 1 的局部化形式，提供指标的几何与分析构造。

提出的方法

• 在 $\mathbf{T}^{*}M$ 上引入一种抛物形式 ${\rm Par}(\omega)(X) = \chi + d\chi \frac{\omega}{D\omega(X)}$，其在法丛 $\mathbf{T}^{*}_{K}M$ 附近紧支集，且在等变上同调中代表常数 1。
• 为横截椭圆符号定义具有紧支集系数的广义陈特征类 $\operatorname{Ch}_{\rm sup}(\sigma)(X)$，确保其可积性。
• 使用 Quillen 超连接构造定义等变陈特征类 $\operatorname{Ch}(\sigma)(X)$，并将其与 ${\rm Par}(\omega)(X)$ 结合，形成紧支集的闭等变形式。
• 应用非局部化指标公式：$\operatorname{index}(P)(e^X) = (2i\pi)^{-\dim M} \int_{\mathbf{T}^{*}M} \widehat{A}(M)^2(X) \operatorname{Ch}(\sigma)(X) {\rm Par}(\omega)(X)$，对小的 $X \in \mathfrak{k}$ 成立。
• 利用同构 $\mathbf{T}^{*}M \simeq E^{*} \oplus \mathbb{R}$ 将积分分解为在 $E^{*}$ 与 $\mathbb{R}$ 上的纤维积分，实现显式计算。
• 证明在 $E^{*}$ 上的纤维积分为逆 Todd 类 ${\rm Todd}(E^{*})(X)^{-1}$，在 $\mathbb{R}$ 上的积分为 $\mathcal{J}_{\alpha}(X)$，从而导出最终的指标公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 Atiyah-Bott-Segal-Singer 指标公式推广至横截椭圆算子，此时指标为广义函数而非光滑函数？
• RQ2 当标准紧支集形式因非椭圆性而失效时，横截椭圆算子指标的合适上同调代表是什么？
• RQ3 能否构造一种闭的、等变的、在 $\mathbf{T}^{*}_{K}M$ 附近紧支集且在上同调中代表 1 的局部化形式 ${\rm Par}(\omega)$？
• RQ4 广义陈特征类 $\operatorname{Ch}_{\rm sup}(\sigma)$ 与 ${\rm Par}(\omega)$ 如何相互作用，以保证指标的积分定义良好？
• RQ5 对于与接触结构及 $K$-不变接触形式相关的横截椭圆符号，其指标的显式上同调表达式是什么？

主要发现

• 横截椭圆算子 $P$ 的指标为 $\operatorname{index}(P)(e^X) = (2i\pi)^{-\dim M} \int_{\mathbf{T}^{*}M} \widehat{A}(M)^2(X) \operatorname{Ch}(\sigma)(X) {\rm Par}(\omega)(X)$，其中 ${\rm Par}(\omega)$ 是在上同调中代表 1 的紧支集、闭的等变形式。
• 在接触情形下，符号为 $\sigma_b$ 时，指标为 $\operatorname{index}^{K,M}_{c}(\sigma_b)(e^X) = (2i\pi)^{-n} \int_M {\rm Todd}(E)(X) \mathcal{J}_{\alpha}(X)$，其中 $\mathcal{J}_{\alpha}(X) = \alpha \int_{\mathbb{R}} e^{itD\alpha(X)} dt$。
• 对 $\operatorname{Ch}_{\rm sup}(\sigma_b)$ 在 $E^{*}$ 上的纤维积分结果为 $(2i\pi)^n {\rm Todd}(E^{*})(X)^{-1}$，在 $\mathbb{R}$ 上的积分为 $(2i\pi) \mathcal{J}_{\alpha}(X)$，从而导出最终公式。
• 该公式统一了椭圆与横截椭圆情形：当 $P$ 为椭圆算子时，公式退化为 Atiyah-Bott-Segal-Singer 不动点公式。
• 通过 $\chi + d\chi \frac{\omega}{D\omega(X)}$ 构造 ${\rm Par}(\omega)$ 确保其在广义意义下定义良好，使用振荡积分 $-i\int_0^\infty e^{itD\omega} dt$。
• 结果表明，通过 $\operatorname{Ch}_{\rm sup}(\sigma) {\rm Par}(\omega)$ 定义的上同调指标与横截椭圆算子的解析指标一致。