[论文解读] Equivariant K-theory and Higher Chow Groups of Smooth Varieties

Amalendu Krishna|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 21被引用 9

一句话总结

该论文为具有分裂环面作用的光滑代数簇建立了连接等变与非等变高阶 Chow 群的谱序列，证明其退化，并为光滑射影簇给出了显式公式。在有理系数下，结果可推广至连通分裂半单群，从而推广了 Graham 的定理，并为高阶 K-理论建立了更精细的等变 Riemann-Roch 定理。

ABSTRACT

For any variety X with an action of a split torus over a field, we establish a spectral sequence connecting the equivariant and the non-equivariant higher Chow groups of X. For X smooth and projective, we give an explicit formula relating the equivariant and the non-equivariant higher Chow groups. This in particular implies that the spectral sequence degenerates. These results also hold with rational coefficients for action of any connected and split reductive group. As applications to the above results, we show that for a connected linear algebraic group G acting on a smooth projective variety X, the forgetful map K G i (X) → Ki(X) induces an isomorphism K G i (X)/IGK G i (X) ∼ = − → Ki(X) with rational coefficients. This generalizes a result of Graham to higher K-theory of such varieties. We also prove a refinement of the equivariant Riemann-Roch theorem of [17] and [16] for such varieties, which leads to the generalizations of the main results of [7] and [9] to the equivariant higher K-theory.

研究动机与目标

• 为具有分裂环面作用的代数簇建立连接等变与非等变高阶 Chow 群的谱序列。
• 为光滑射影簇推导等变与非等变高阶 Chow 群之间关系的显式公式。
• 将 Graham 在 K-理论中关于遗忘映射的结果推广至有理系数下的高阶 K-理论。
• 在光滑射影簇且具有半单群作用的背景下，对高阶 K-理论的等变 Riemann-Roch 定理进行精细化。
• 将 [7] 和 [9] 的结果推广至等变高阶 K-理论框架。

提出的方法

• 通过分裂环面的作用过滤构造从等变高阶 Chow 群到非等变高阶 Chow 群的谱序列。
• 利用 X 的光滑性与射影性，证明谱序列的退化性，从而为等变高阶 Chow 群给出显式公式。
• 应用有理系数，将环面作用的结果推广至连通分裂半单群。
• 分析遗忘映射 $ K^G_i(X) \to K_i(X) $，并证明模去增广理想 $ I_G $ 后，在有理系数下诱导出同构。
• 通过结合等变 K-理论与高阶 Chow 群的结构，对等变 Riemann-Roch 定理进行精细化。
• 利用谱序列及其退化性，将 [7] 和 [9] 中关于高阶 K-理论的先前结果推广至等变设定。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有分裂环面作用的光滑代数簇，等变与非等变高阶 Chow 群之间有何关系？
• RQ2 在何种条件下，连接等变与非等变高阶 Chow 群的谱序列会退化？
• RQ3 Graham 在 K-理论中关于遗忘映射的定理在有理系数下可多大程度推广至高阶 K-理论？
• RQ4 在光滑射影簇的背景下，如何对高阶 K-理论的等变 Riemann-Roch 定理进行精细化？
• RQ5 这些结果对有理系数下等变 K-理论的结构有何影响？

主要发现

• 构造了一个谱序列，连接具有分裂环面作用的光滑代数簇的等变与非等变高阶 Chow 群。
• 对于光滑射影簇，该谱序列退化，从而为等变高阶 Chow 群给出了显式公式。
• 在有理系数下，结果可推广至任意连通分裂半单群的作用。
• 对于具有有理系数的光滑射影簇，遗忘映射 $ K^G_i(X) \to K_i(X) $ 诱导出同构 $ K^G_i(X)/I_G K^G_i(X) \xrightarrow{\sim} K_i(X) $。
• 建立了等变 Riemann-Roch 定理的精细化版本，将 [7] 和 [9] 的结果推广至高阶 K-理论。
• 该框架使得在半单群作用下，光滑射影簇的等变 K-理论中关键定理可推广至高阶 K-理论。