[论文解读] Equivariant localization in factorization homology and applications in mathematical physics II: Gauge theory applications

Dylan Butson|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2020

Advanced Topics in Algebra被引用 5

一句话总结

本文利用等变分解同调构造了低维超对称 gauge 理论中因子代数的几何模型，证明了Coulomb 生成代数在商叠上的切微分算子上作用，并将等变结构与 Tate 几何联系起来。它建立了一个数学框架，用于描述 4D $σ$-模型的混合全纯-拓扑扭曲，并通过等变局部化将其与 Rees 代数联系起来。

ABSTRACT

We give an account of the theory of factorization spaces, categories, functors, and algebras, following the approach of [Ras1]. We apply these results to give geometric constructions of factorization $\\mathbb{E}_n$ algebras describing mixed holomorphic-topological twists of supersymmetric gauge theories in low dimensions. We formulate and prove several recent predictions from the physics literature in this language: We recall the Coulomb branch construction of [BFN1] from this perspective. We prove a conjecture from [CosG] that the Coulomb branch factorization $\\mathbb{E}_1$ algebra $\\mathcal{A}(G,N)$ acts on the factorization algebra of chiral differential operators $\\mathcal{D}^{ch}(Y)$ on the quotient stack $Y=N/G$. We identify the latter with the semi-infinite cohomology of $\\mathcal{D}^{ch}(N)$ with respect to $\\hat{\\mathfrak{g}}$, following the results of [Ras3]. Both these results require the hypothesis that $Y$ admits a Tate structure, or equivalently that $\\mathcal{D}^{ch}(N)$ admits an action of $\\hat{\\mathfrak{g}}$ at level $\\kappa=-\ ext{Tate}$. We construct an analogous factorization $\\mathbb{E}_2$ algebra $\\mathcal{F}(Y)$ describing the local observables of the mixed holomorphic-B twist of four dimensional $\\mathcal{N}=2$ gauge theory. We apply the theory of equivariant factorization algebras of the prequel [Bu1] in this example: we identify $S^1$ equivariant structures on $\\mathcal{F}(Y)$ with Tate structures on $Y=N/G$, and prove that the corresponding filtered quantization of $\\iota^!\\mathcal{F}(Y)$ is given by the two-periodic Rees algebra of chiral differential operators on $Y$. This gives a mathematical account of the results of [Beem4]. Finally, we apply the equivariant cigar reduction principle of [Bu1] to explain the relationship between these results and our account of the results of [CosG] described above.

研究动机与目标

• 为描述 4D $σ$-模型混合全纯-拓扑扭曲的因子代数 $É_n$ 提供几何构造。
• 在 Tate 结构假设下，证明 Coulomb 生成代数因子代数 $τ(G,N)$ 作用于 $Y = N/G$ 上的切微分算子 $τ^{ch}(Y)$。
• 为 4D $σ$-理论的混合全纯-B 扭曲构造一个因子代数 $É_2$ 代数 $τ(Y)$，并将其与 $Y = N/G$ 上的等变结构联系起来。
• 建立 $τ(Y)$ 上的 $S^1$-等变结构与 $Y$ 上的 Tate 结构之间的对应关系，并将 $Ω^!τ(Y)$ 的滤子量化识别为 $τ^{ch}(Y)$ 的双周期 Rees 代数。

提出的方法

• 利用 [Ras1] 中因子空间与范畴的框架，将其扩展至等变设定。
• 应用前序工作 [Bu1] 中的等变局部化技术，将因子代数上的 $S^1$-等变结构与商叠上的 Tate 结构联系起来。
• 使用半无限上同调构造，将 $τ^{ch}(Y)$ 识别为 $τ^{ch}(N)$ 关于 $\hat{\mathfrak{g}}$ 在水平 $\kappa = -\text{Tate}$ 下的半无限上同调。
• 将因子代数 $É_2$ 代数 $τ(Y)$ 构造为 4D $σ$-模型在混合全纯-B 扭曲下局部可观测量的数学模型。
• 利用 [Bu1] 中的雪茄约化原理，将 $É_1$ 与 $É_2$ 构造联系起来，统一了跨维度的框架。
• 依赖于 $Y = N/G$ 上 Tate 结构的存在性，以确保 $τ(G,N)$ 对 $τ^{ch}(Y)$ 的作用成立，以及 Rees 代数识别的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何几何地构造因子代数以建模 4D $σ$-理论中的混合全纯-拓扑扭曲？
• RQ2 Coulomb 生成代数在 $N/G$ 上的切微分算子上的精确数学实现是什么？
• RQ3 因子代数上的 $S^1$-等变结构如何与商叠 $N/G$ 上的 Tate 结构对应？
• RQ4 在 4D $σ$-理论背景下，$Ω^!\u03c4(Y)$ 的滤子量化是什么？
• RQ5 等变雪茄约化原理如何统一此框架中 $É_1$ 与 $É_2$ 的构造？

主要发现

• 在 $Y$ 具备 Tate 结构的假设下，Coulomb 生成代数因子代数 $τ(G,N)$ 作用于 $Y = N/G$ 上的因子代数 $τ^{ch}(Y)$。
• 因子代数 $τ^{ch}(Y)$ 被识别为 $τ^{ch}(N)$ 关于 $\hat{\mathfrak{g}}$ 在水平 $\kappa = -\text{Tate}$ 下的半无限上同调。
• $τ(Y)$ 上的 $S^1$-等变结构与 $Y = N/G$ 上的 Tate 结构精确对应，建立了几何分类。
• $Ω^!\u03c4(Y)$ 的滤子量化被识别为 $τ^{ch}(Y)$ 的双周期 Rees 代数，为 [Beem4] 中的构造提供了数学实现。
• 应用 [Bu1] 中的等变雪茄约化原理，将 $É_1$ 与 $É_2$ 构造联系起来，展示了跨维度的一致性。
• 结果为 [CosG] 和 [Beem4] 中的物理预测提供了严格的数学解释，尤其阐明了 4D $σ$-理论中 Tate 结构与 Rees 代数的作用。