[论文解读] Equivariant relative Thom forms and Chern characters

Paul-Émile Paradan, Michèle Vergne|ArXiv.org|Nov 25, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 12被引用 11

一句话总结

本文利用Mathai-Quillen超联络框架，为等变相对Thom形式与Chern特征提供了显式且可计算的公式。它建立了关于相对Chern特征与相对Thom类之间关系的Riemann-Roch公式，关键结果通过配备联络与复结构的向量丛上的微分形式表达。

ABSTRACT

These notes are the first chapter of a monograph, dedicated to a detailed proof of the equivariant index theorem for transversally elliptic operators. In this preliminary chapter, we prove a certain number of natural relations in equivariant cohomology. These relations include the Thom isomorphism in equivariant cohomology, the multiplicativity of the relative Chern characters, and the Riemann-Roch relation between the relative Chern character of the Bott symbol and of the relative Thom class.

研究动机与目标

• 开发相对等变上同调类（特别是Thom类与Chern特征）的显式代表元，背景为横截椭圆微分方程。
• 将Quillen的超联络构造推广至相对上同调，实现对支撑集与子流形附近局部化的精确控制。
• 在等变上同调中建立相对Bott映射Chern特征与相对Thom类之间的Riemann-Roch公式。
• 提供一个系统性框架，利用具有高斯型行为的微分形式计算等变指标理论不变量。
• 证明相对Chern特征与Thom类可由具有受控支撑的闭形式表示，方法为使用联络与Berezin积分。

提出的方法

• 通过欧拉类的拉回与满足 p*Eul(V) = dβ 的联络相关形式 β，显式构造相对Thom形式，其中 β 定义在 V∖M 上。
• 通过Quillen的超联络与超迹构造，定义复向量丛 V 上Bott映射 σ_b: ∧⁺V → ∧⁻V 的相对Chern特征 Ch_rel(σ_b)。
• 利用Volterra展开与Berezin积分，推导作用于含 R(x), S(x), T(t,x) 的指数形式上的微分算子的估计。
• 引入一种相对上同调模型，其中类由对 (α, β) 表示，α 在 M 上闭合，且在 M∖F 上满足 dβ = α，通过截断函数实现支撑控制。
• 应用映射 p(a) = χα + dχβ，生成在奇点集 F 附近的Chern特征的紧支撑代表元。
• 通过索引集的分划上的组合估计，建立指数形式导数的统一有界性，实现多项式与指数衰减控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在具有欧几里得或复结构的向量丛中，构造等变相对Thom类的显式可计算代表元？
• RQ2 相对Bott映射Chern特征与等变上同调中的相对Thom类之间存在何种精确关系？
• RQ3 Quillen的超联络形式如何与相对上同调类关联？能否用于定义紧支撑代表元？
• RQ4 在等变上同调背景下，涉及曲率与联络项的指数形式导数的统一估计是什么？
• RQ5 能否从超联络与相对上同调构造中显式导出Riemann-Roch公式？

主要发现

• 相对Thom形式显式给出为 Th_rel(V) = [p*Eul(V), β_V]，其中 β_V 是 V∖M 上的微分形式，满足 p*Eul(V) = dβ_V。
• 相对Bott映射Chern特征满足Riemann-Roch公式：在相对上同调中，p*(Todd(V)) · Ch_rel(σ_b) = Th_rel(V)。
• Quillen Chern特征 Ch_Q(σ_b) 在纤维上呈现‘高斯型’外观，且通过支撑控制与相对类自然关联。
• 对于基空间 W 中任意次数为 r_W 的微分算子 D，指数形式的导数在紧集上一致有界：cst · (1+t)^{2r_W + q} · e^{-t² m(R(y))}。
• 导数估计中的常数关于曲率与联络项的范数呈多项式依赖，且在 t² 上呈现指数衰减。
• 该构造通过映射 p(a) = χα + dχβ，产生一个定义良好、可计算且支撑受控的Chern特征代表元。