[论文解读] Equivariant split generation and mirror symmetry of special isogenous tori

Weiwei Wu|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 39被引用 3

一句话总结

该论文在具有自由有限群作用的辛流形上建立了Fukaya范畴的等变分裂生成，为具有非分裂辛形式的特殊同源环面的同调镜像对称提供了新案例。证明了这些环面的导出Fukaya范畴是完备不变量，通过$G$-等变框架和镜像函子约化，推广了Abouzaid-Smith的结果。

ABSTRACT

We prove a version of equivariant split generation of Fukaya category when a symplectic manifold admits a free action of a finite group $G$. Combining this with some generalizations of Seidel's algebraic frameworks from Seidel's book, we obtain new cases of homological mirror symmetry for some symplectic tori with non-split symplectic forms, which we call extit{special isogenous tori}. This extends the work of Abouzaid-Smith. We also show that derived Fukaya categories are complete invariants of special isogenous tori.

研究动机与目标

• 开发在自由有限群作用下Fukaya范畴的等变分裂生成准则。
• 将同调镜像对称性扩展至具有非分裂辛形式的辛环面，即所谓的'特殊同源环面'。
• 确立导出Fukaya范畴是特殊同源环面的完备不变量。
• 在$G$-作用存在的情况下，推广Seidel的镜像函子代数框架。
• 证明镜像环面的导出等价性恰好对应于其辛形式的辛同构。

提出的方法

• 引入等变Fukaya范畴$\mathcal{F}uk(X)^G$，作为浸入Fukaya范畴的技术替代。
• 证明Abouzaid生成准则的$G$-等变版本：若$\mathcal{B} \subset \mathcal{F}uk(X)$解析对角线，则$G \cdot \mathcal{B}$在$\mathcal{F}uk(X)^G$中分裂生成。
• 利用Floer理论传递映射构造一个全纯忠实的转移函子$\mathcal{T}: \mathcal{F}uk(\overline{X}) \to \mathcal{F}uk(X)^G$。
• 将镜像函子$\mathfrak{m}: D^\pi \mathcal{F}uk(X) \to D^b Coh(X^\vee)$约化至固定点范畴$\mathfrak{m}^{fix}$，保持全纯忠实性。
• 利用$GL(2n,\mathbb{Z})$中的格点与矩阵合同关系，关联镜像环面的辛形式与导出范畴。
• 证明矩阵$\begin{pmatrix} 0 & Q_B^T \\ -Q_B & 0 \end{pmatrix}$在$GL(2n,\mathbb{Z})$下合同于$\begin{pmatrix} 0 & Q_A^T \\ -Q_A & 0 \end{pmatrix}$当且仅当对应的镜像环面导出等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有限群商映射下，分裂生成族的像是否仍分裂生成商流形的Fukaya范畴？
• RQ2 能否利用等变分裂生成将同调镜像对称性扩展至具有非分裂辛形式的辛环面？
• RQ3 导出Fukaya范畴是否为特殊同源环面的完备不变量？
• RQ4 在辛侧存在$G$-作用时，镜像函子如何诱导至固定点范畴的约化？
• RQ5 在格点数据下，两个特殊同源环面线性辛同构的精确代数条件是什么？

主要发现

• 等变分裂生成准则是成立的：若子范畴$\mathcal{B} \subset \mathcal{F}uk(X)$解析对角线，则$G \cdot \mathcal{B}$在$\mathcal{F}uk(X)^G$中分裂生成。
• 存在一个全纯忠实的转移函子$\mathcal{T}: \mathcal{F}uk(\overline{X}) \to \mathcal{F}uk(X)^G$，使得可从商范畴过渡到等变范畴。
• 若$\mathcal{B}$解析对角线且对所有$L \in \mathcal{B}$有$\pi(L)$为嵌入，则$\pi(\mathcal{B})$在$\mathcal{F}uk(\overline{X})$中分裂生成。
• 导出Fukaya范畴$D^\pi \mathcal{F}uk(X/G)$是特殊同源环面的完备不变量。
• 两个特殊同源环面$T(\bar{\alpha})_l$和$T(\bar{\alpha}')_{l'}$线性辛同构当且仅当它们的导出范畴等价。
• 辛形式矩阵$\Omega_l^{\bar{\alpha}}$与$\Omega_{l'}^{\bar{\alpha}'}$在$GL(2n,\mathbb{Z})$下合同当且仅当对应的镜像环面导出等价。