[论文解读] Symplectic cohomology and duality for the wrapped Fukaya category

Sheel Ganatra|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 24被引用 91

一句话总结

该论文通过证明在非退化条件下，从Hochschild同调到辛上同调以及从辛上同调到缠绕Fukaya范畴的Hochschild上同调的自然几何映射是同构，并且与环和模结构相容，从而建立了Kontsevich猜想的非紧版本。关键结果是缠绕Fukaya范畴的Hochschild同调与上同调之间通过一种新的几何Poincaré对偶同构以及使用缠绕全纯花结的广义Fourier-Mukai理论实现的对偶性。

ABSTRACT

Consider the wrapped Fukaya category W of a collection of exact Lagrangians in a Liouville manifold. Under a non-degeneracy condition implying the existence of enough Lagrangians, we show that natural geometric maps from the Hochschild homology of W to symplectic cohomology and from symplectic cohomology to the Hochschild cohomology of W are isomorphisms, in a manner compatible with ring and module structures. This is a consequence of a more general duality for the wrapped Fukaya category, which should be thought of as a non-compact version of a Calabi-Yau structure. The new ingredients are: (1) Fourier-Mukai theory for W via a wrapped version of holomorphic quilts, (2) new geometric operations, coming from discs with two negative punctures and arbitrary many positive punctures, (3) a generalization of the Cardy condition, and (4) the use of homotopy units and A-infinity shuffle products to relate non-degeneracy to a resolution of the diagonal.

研究动机与目标

• 建立Kontsevich猜想的非紧版本，该猜想将量子上同调与Fukaya范畴的Hochschild上同调联系起来。
• 在非退化条件下，证明辛上同调同构于缠绕Fukaya范畴的Hochschild同调与上同调。
• 为缠绕Fukaya范畴构造一个直接的几何Poincaré对偶同构，连接其Hochschild同调与上同调，且适用于任意系数双模。
• 通过A-infinity范畴技术，将非退化条件与缠绕Fukaya范畴的光滑性联系起来。
• 推广Cardy条件，并引入来自具有两个负 puncture 和多个正 puncture 的全纯盘的新几何运算。

提出的方法

• 引入缠绕全纯花结的版本，以发展缠绕Fukaya范畴的Fourier-Mukai理论。
• 使用具有两个负 puncture 和任意正 puncture 的全纯盘定义新的几何运算，以建模范畴中的高阶运算。
• 将Cardy条件推广以包含这些新运算，并建立其与对偶性结构的相容性。
• 利用同伦单位和A-infinity错排积，将非退化条件与缠绕Fukaya范畴中对角元的分解联系起来。
• 直接构造Hochschild同调与上同调之间的几何Poincaré对偶同构，绕过辛上同调。
• 通过具有多个渐近输入的全纯盘模空间进行详细的定向计算，通过定向线和lambda类追踪符号贡献。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在Kontsevich猜想的非紧版本，使得辛上同调同构于缠绕Fukaya范畴的Hochschild上同调？
• RQ2 能否在缠绕Fukaya范畴的Hochschild同调与上同调之间直接构造一个几何Poincaré对偶同构？
• RQ3 非退化条件（意味着存在足够多的Lagrangian）如何与缠绕Fukaya范畴的光滑性相关联？
• RQ4 来自具有两个负puncture的全纯盘的新几何运算在实现对偶结构中起什么作用？
• RQ5 全纯盘模空间中的定向符号如何影响对偶同构的一致性？

主要发现

• 当Liouville流形非退化时，从Hochschild同调到辛上同调以及从辛上同调到Hochschild上同调的自然映射是同构。
• 对于缠绕Fukaya范畴，其Hochschild同调与上同调之间存在直接的几何Poincaré对偶同构，且适用于任意系数双模。
• 通过使用A-infinity错排积对角元的分解，证明了当底流形非退化时，缠绕Fukaya范畴是光滑的。
• 非退化条件确保Lagrangian的集合能够生成辛上同调，特别是能覆盖单位类。
• 全纯盘模空间中的定向符号计算是一致的，并导致一个良定义的对偶结构，所有符号贡献组合成一个典范的符号扭转。
• 广义Cardy条件以及来自具有两个负puncture的全纯盘的新运算在实现对偶性并确保与环和模结构的相容性方面至关重要。