[论文解读] Equivelar and d-Covered Triangulations of Surfaces. I

Frank H. Lutz, T. Sulanke+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2010

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 41被引用 3

一句话总结

本文引入了一个两参数族的循环、可定向三角剖分 $ R_{k,n} $，推广了Ringel的邻域系列，实现了 $ q $-等边三角剖分的上界等式。证明了子系列 $ R_{k,7+12k+1} $ 和 $ R_{k,7+12k+2} $ 产生非邻域例子，其最大 $ q = 6+12k $，且其细分产生 $ 2q $-覆盖三角剖分，在 $ \chi(M) \geq -230 $ 的曲面上实现了 $ d $-覆盖上界等式。

ABSTRACT

We survey basic properties and bounds for $q$-equivelar and $d$-covered triangulations of closed surfaces. Included in the survey is a list of the known sources for $q$-equivelar and $d$-covered triangulations. We identify all orientable and non-orientable surfaces $M$ of Euler characteristic $0>χ(M)\geq -230$ which admit non-neighborly $q$-equivelar triangulations with equality in the upper bound $q\leq\Bigl\lfloor frac{1}{2}(5+\sqrt{49-24χ(M)})\Bigl floor$. These examples give rise to $d$-covered triangulations with equality in the upper bound $d\leq2\Bigl\lfloor frac{1}{2}(5+\sqrt{49-24χ(M)})\Bigl floor$. A generalization of Ringel's cyclic $7{ m mod}12$ series of neighborly orientable triangulations to a two-parameter family of cyclic orientable triangulations $R_{k,n}$, $k\geq 0$, $n\geq 7+12k$, is the main result of this paper. In particular, the two infinite subseries $R_{k,7+12k+1}$ and $R_{k,7+12k+2}$, $k\geq 1$, provide non-neighborly examples with equality for the upper bound for $q$ as well as derived examples with equality for the upper bound for $d$.

研究动机与目标

• 将Ringel的循环邻域三角剖分推广为更广泛的非邻域、等边三角剖分子族。
• 识别所有满足 $ \chi(M) \geq -230 $ 的可定向与非可定向曲面，其上存在实现理论最大 $ q $ 的 $ q $-等边三角剖分。
• 从这些 $ q $-等边例子构造 $ d $-覆盖三角剖分，实现 $ d $-覆盖上界的等式。
• 系统性地调查已知的 $ q $-等边和 $ d $-覆盖三角剖分的来源与上界。
• 通过 $ R_{k,n} $ 系列建立可定向曲面的顶点最小、顶点传递三角剖分。

提出的方法

• 将Ringel的循环邻域三角剖分 $ R_{k,7+12k} $ 推广为两参数族 $ R_{k,n} $，其中 $ n \geq 7+12k $，$ k \geq 0 $，利用循环群作用于生成三角形。
• 通过在 $ \mathbb{Z}_n $-作用下固定 $ 2+4k $ 个生成三角形来定义 $ R_{k,n} $，保持 $ n = 7+12k $ 时顶点0的邻域结构。
• 通过证明顶点星方向的相容性（使用Ringel的规则 $ R^* $）来证明可定向性，该规则在 $ n \geq 7+12k $ 时对循环移位成立。
• 利用恒等式 $ \chi(M) = -2kn $ 计算欧拉示性数并验证 $ q $-等边类型 $ \{3,6+12k\} $ 与 $ f $-向量 $ (n, 3(1+2k)n, 2(1+2k)n) $。
• 对 $ q $-等边三角剖分进行顶点细分，生成 $ 2q $-覆盖三角剖分，继承 $ d $-覆盖上界的等式。
• 验证 $ R_{k,7+12k+1} $ 和 $ R_{k,7+12k+2} $ 实现 $ q = \lfloor \frac{1}{2}(5 + \sqrt{49 - 24\chi}) \rfloor $，确认达到上界等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些满足 $ \chi(M) \geq -230 $ 的可定向与非可定向曲面存在实现理论最大上界 $ q \leq \lfloor \frac{1}{2}(5 + \sqrt{49 - 24\chi}) \rfloor $ 的 $ q $-等边三角剖分？
• RQ2 Ringel的循环邻域系列能否推广为仍实现 $ q $-等边上界等式的非邻域例子？
• RQ3 由此产生的 $ q $-等边三角剖分是否生成实现 $ d $-覆盖上界 $ d \leq 2\lfloor \frac{1}{2}(5 + \sqrt{49 - 24\chi}) \rfloor $ 等式的 $ d $-覆盖三角剖分？
• RQ4 是否存在可定向曲面的顶点最小、顶点传递三角剖分，其 $ \chi(M) = -2kn $，且来自推广的 $ R_{k,n} $ 家族？
• RQ5 在 $ n \geq 7+12k $ 时，什么条件能保证推广的 $ R_{k,n} $ 三角剖分的可定向性？

主要发现

• 对于 $ k \geq 0 $，$ n \geq 7+12k $，推广的Ringel系列 $ R_{k,n} $ 构成一个两参数族的循环、可定向三角剖分，其亏格为 $ g = kn + 1 $，$ f $-向量为 $ (n, 3(1+2k)n, 2(1+2k)n) $。
• 当 $ k \geq 1 $ 时，子系列 $ R_{k,7+12k+1} $ 和 $ R_{k,7+12k+2} $ 实现上界 $ q \leq \lfloor \frac{1}{2}(5 + \sqrt{49 - 24\chi}) \rfloor $ 的等式，提供非邻域的 $ q $-等边三角剖分。
• 这些 $ R_{k,7+12k+1} $ 和 $ R_{k,7+12k+2} $ 例子生成的 $ 2q $-覆盖三角剖分实现了上界 $ d \leq 2\lfloor \frac{1}{2}(5 + \sqrt{49 - 24\chi}) \rfloor $ 的等式。
• 当 $ k \geq 1 $ 时，三角剖分 $ R_{k,7+12k+1} $ 是 $ \chi = -2kn $ 的可定向曲面的顶点最小三角剖分，因其与Heawood界等式成立。
• 通过循环对称下顶点星方向的相容性，结合Ringel的规则 $ R^* $，验证了 $ R_{k,n} $ 在 $ n \geq 7+12k $ 时的可定向性。
• 该构造通过提供实现理论最大 $ q $ 的显式 $ q $-等边三角剖分，证实了 $ q = 6+12k $，$ k \geq 1 $ 时的猜想8，适用于 $ \chi = -2kn $ 的曲面。