[论文解读] Erd\H{o}s-Ginzburg-Ziv constants by avoiding three-term arithmetic progressions

Jacob Fox, Lisa Sauermann|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2017

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文建立了Erdřs-Ginzburg-Ziv常数s(G)与有限域Fn_p中无三元等差数列的子集大小r(Fn_p)之间的新联系。通过利用Ellenberg和Gijswijt对r(Fn_p)的界，作者推导出上界s(Fn_p) ≤ 2p · r(Fn_p)，显著改进了Naslund先前的界。该结果通过将任意有限交换群分解为p-群，推广至一般有限交换群。

ABSTRACT

For a finite abelian group $G$, the Erd\H{o}s-Ginzburg-Ziv constant $\mathfrak{s}(G)$ is the smallest $s$ such that every sequence of $s$ (not necessarily distinct) elements of $G$ has a zero-sum subsequence of length $\operatorname{exp}(G)$. For a prime $p$, let $r(\mathbb{F}_p^n)$ denote the size of the largest subset of $\mathbb{F}_p^n$ without a three-term arithmetic progression. Although similar methods have been used to study $\mathfrak{s}(G)$ and $r(\mathbb{F}_p^n)$, no direct connection between these quantities has previously been established. We give an upper bound for $\mathfrak{s}(G)$ in terms of $r(\mathbb{F}_p^n)$ for the prime divisors $p$ of $\operatorname{exp}(G)$. For the special case $G=\mathbb{F}_p^n$, we prove $\mathfrak{s}(\mathbb{F}_p^n)\leq 2p\cdot r(\mathbb{F}_p^n)$. Using the upper bounds for $r(\mathbb{F}_p^n)$ of Ellenberg and Gijswijt, this result improves the previously best known upper bounds for $\mathfrak{s}(\mathbb{F}_p^n)$ given by Naslund.

研究动机与目标

• 建立Erdřs-Ginzburg-Ziv常数s(G)与有限域上向量空间中无等差数列子集大小r(Fn_p)之间的直接联系。
• 通过将s(Fn_p)与已知的r(Fn_p)界关联，改进s(Fn_p)的现有上界。
• 通过将群分解为p-群并在每个分量上应用结果，将该界推广至任意有限交换群。

提出的方法

• 使用Ellenberg、Gijswijt和Tao发展的单体秩方法与多项式方法，来界定r(Fn_p)。
• 应用引理7（一个递归分解引理），以s(H)和s(G/H)的形式界定s(G)，其中H为子群。
• 通过p-群的结构进行归纳证明，以s(Fn_p)的形式界定s(G)，其中G = (Z/p^a_i Z)^n。
• 将一般有限交换群G分解为其p-子群分量G_i，每个G_i均为p_i-群。
• 结合s(G_i)的界（基于p-群结果）与群的结构，推导出s(G)的全局界。
• 利用已知界r(Fn_p) ≤ (J(p)p)^n（其中0.8414 ≤ J(p) ≤ 0.9184）获得定量改进。

实验结果

研究问题

• RQ1 Erdřs-Ginzburg-Ziv常数s(G)能否以Fn_p中无三元等差数列的最大子集大小r(Fn_p)来界定？
• RQ2 界s(Fn_p) ≤ 2p · r(Fn_p)是否优于s(Fn_p)的最佳已知先前上界？
• RQ3 该联系能否从初等阿贝尔p-群推广至任意有限交换群？

主要发现

• 本文证明了s(Fn_p) ≤ 2p · r(Fn_p)，相较于Naslund的先前界有显著改进。
• 对于G = Fn_p，通过单体秩方法与Ellenberg-Gijswijt对r(Fn_p)的界，推导出s(Fn_p) ≤ 2p · r(Fn_p)。
• 该结果可推广至一般有限交换群：s(G) < 3 exp(G) · (r(Fn1_p1) + ··· + r(Fnm_pm))，其中p1, ···, pm为exp(G)的素因子。
• 该界比一般界s(G) ≤ |G| + exp(G) - 1更紧，并优于Naslund的早期结果。
• 作者表明，界s(Fn_p) ≤ 2p · r(Fn_p)在某种意义上是紧的，因为它与r(Fn_p)的已知渐近行为一致。
• 证明技术通过群的分解与s(G)的归纳界，将两个此前独立的问题——零和序列与无等差数列集合——联系起来。