[论文解读] Exponential Bounds for the Erd\H{o}s-Ginzburg-Ziv Constant

Eric Naslund|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2017

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 14被引用 9

一句话总结

本文使用划分秩方法（slice rank的推广）建立了关于Erdös-Ginzburg-Ziv常数 $ s((\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^n) $ 的指数上界。证明了 $ s((\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^n) \leq (p-1)2p \cdot (pJ(p))^n $，其中 $ 0.8414 < J(p) < 0.91837 $，这是对大 $ n $ 时平凡上界首次实现的指数级改进，并在性质D猜想下得到了关于一般 $ k $ 的条件性结果。

ABSTRACT

The Erd\H{o}s-Ginzburg-Ziv constant of an abelian group $G$, denoted $\mathfrak{s}(G)$, is the smallest $k\in\mathbb{N}$ such that any sequence of elements of $G$ of length $k$ contains a zero-sum subsequence of length $\exp(G)$. In this paper, we use the partition rank, which generalizes the slice rank, to prove that for any odd prime $p$, \[ \mathfrak{s}\left(\mathbb{F}_{p}^{n} ight)\leq(p-1)2^{p}\left(J(p)\cdot p ight)^{n} \] where $0.8414<J(p)<0.91837$ is the constant appearing in Ellenberg and Gijswijt's bound on arithmetic progression-free subsets of $\mathbb{F}_{p}^{n}$. For large $n$, and $p>3$, this is the first exponential improvement to the trivial bound. We also provide a near optimal result conditional on the conjecture that $\left(\mathbb{Z}/k\mathbb{Z} ight)^{n}$ satisfies property $D$, showing that in this case \[ \mathfrak{s}\left(\left(\mathbb{Z}/k\mathbb{Z} ight)^{n} ight)\leq(k-1)4^{n}+k. \]

研究动机与目标

• 解决关于大 $ n $ 时 $ s((\mathbb{Z}/k\mathbb{Z})^n) $ 的长期悬而未决的开问题，特别是针对素数幂的情形。
• 为 $ p > 3 $ 且 $ n $ 较大时的 $ s((\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^n) $ 提供首次超越平凡上界的指数级改进。
• 在 $ (\mathbb{Z}/k\mathbb{Z})^n $ 满足性质D的猜想下建立条件性上界，该性质刻画了最大零和自由序列。
• 通过Fox和Sauermann的约化论证，将结果从素数域推广至一般的有限交换群。
• 发展并应用划分秩方法，以处理张量型组合问题中的互异性约束。

提出的方法

• 本文使用划分秩方法（由作者提出，为slice rank的推广），以界定 $ \mathbb{F}_p^n $ 中不包含 $ p $ 个互异元素和为零的子集的大小。
• 构建一个指示张量 $ I_p $ 以编码 $ p $ 个互异元素和为零的条件，并通过单项式次数与$\delta$函数分组来界定其划分秩。
• 通过分析 $ I_p $ 展开式中单项式的次数，按最低次$\delta$函数分组，并统计低次单项式，推导出关键不等式。
• 通过在 $ 0 < x < 1 $ 上最小化表达式 $ \frac{1 - x^p}{1 - x} x^{-(p-1)/3} $ 得到上界 $ |A| \leq (2p - p - 2)(pJ(p))^n $，并定义 $ J(p) $。
• 在性质D猜想下推导出条件性结果，该猜想认为最大零和自由序列是均匀多重集，从而可获得更强的上界。
• 利用 $ s((\mathbb{Z}/k\mathbb{Z})^n) $ 到 $ s((\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^n) $ 的约化（当 $ p \mid k $ 时），结合Fox和Sauermann的结果，将上界推广至一般 $ k $。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $ s((\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^n) $，最佳可能的指数上界是什么？能否在平凡上界之上实现进一步改进？
• RQ2 划分秩方法在处理零和问题中互异性约束时，相较于slice rank有何改进？
• RQ3 在何种条件下可对Erdös-Ginzburg-Ziv常数实现更紧的上界，特别是当群满足性质D时？
• RQ4 函数 $ J(p) $（通过在 $ (0,1) $ 上的最小化定义）在决定 $ s((\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^n) $ 的指数增长速率中起什么作用？
• RQ5 通过约化到素数幂情形并假设性质D，能否使 $ s((\mathbb{Z}/k\mathbb{Z})^n) $ 的上界接近最优？

主要发现

• 本文首次为 $ s((\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^n) $ 建立了超越平凡上界的指数改进，证明了 $ s((\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^n) \leq (p-1)2p \cdot (pJ(p))^n $，其中 $ 0.8414 < J(p) < 0.91837 $。
• 对任意奇素数 $ p $，若子集 $ A \subset \mathbb{F}_p^n $ 中不包含 $ p $ 个互异元素和为零，则其大小满足 $ |A| \leq (2p - p - 2)(pJ(p))^n $。
• 在 $ (\mathbb{Z}/k\mathbb{Z})^n $ 满足性质D的猜想下，证明了上界 $ s((\mathbb{Z}/k\mathbb{Z})^n) \leq (k-1)4^n + k $，该结果接近最优。
• 在条件性假设下，建立了 $ s((\mathbb{Z}/k\mathbb{Z})^n) \leq (J(q)q + o(1))^n $，其中 $ q $ 是整除 $ k $ 的最大素数幂，且 $ o(1) \to 0 $ 当 $ n \to \infty $。
• 将slice rank方法应用于编码 $ q $-元组和为零的张量 $ E_q $，得到 $ \text{slice-rank}(E_q) \leq q \cdot \gamma_q^n $，其中 $ \gamma_q $ 通过在 $ (0,1) $ 上的最小化定义。
• 通过放大论证，将slice rank上界中的因子 $ q $ 减少，得到 $ |A| \leq \gamma_q^n $，从而在性质D假设下推出 $ s((\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^n) $ 的条件性上界。