[论文解读] Erdős-Szekeres theorem for multidimensional arrays

Matija Bucić, Benny Sudakov+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2019

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 26被引用 6

一句话总结

本文為多維Erdős-Szekeres問題建立了顯著改進的上界，證明對於 $ d \geq 4 $，保證存在一個單調的 $ n \times \cdots \times n $ 子陣列的最小尺寸 $ M_d(n) $ 至多為 $ n $ 的三重指數，而對於字典序單調變體則為四重指數。這些結果改進了Fishburn與Graham先前使用迭代應用Erdős-Szekeres定理與Ramsey理論論證所獲得的Ackermann型上界。

ABSTRACT

The classical Erdős-Szekeres theorem dating back almost a hundred years states that any sequence of $(n-1)^2+1$ distinct real numbers contains a monotone subsequence of length $n$. This theorem has been generalised to higher dimensions in a variety of ways but perhaps the most natural one was proposed by Fishburn and Graham more than 25 years ago. They defined the concept of a monotone and a lex-monotone array and asked how large an array one needs in order to be able to find a monotone or a lex-monotone subarray of size $n imes \ldots imes n$. Fishburn and Graham obtained Ackerman-type bounds in both cases. We significantly improve these results. Regardless of the dimension we obtain at most a triple exponential bound in $n$ in the monotone case and a quadruple exponential one in the lex-monotone case.

研究动机与目标

• 透過確定能保證存在單調 $ n \times \cdots \times n $ 子陣列的最小陣列尺寸 $ M_d(n) $ 的更緊緻上界，來解決多維Erdős-Szekeres問題。
• 利用Fishburn與Graham定義的單調與字典序單調陣列，將經典Erdős-Szekeres定理推廣至高維空間。
• 改進Fishburn與Graham先前針對單調與字典序單調陣列問題所獲得的Ackermann型上界。
• 將問題與有序Ramsey理論及邊著色框架聯繫起來，為離散結構中的極值組合學提供新視角。

提出的方法

• 對二維陣列中由列與行限制所誘導的排列，迭代應用經典Erdős-Szekeres定理。
• 將二維單調子陣列問題簡化為在 $ (\log N)^{1-o(1)} $ 個大小為 $ N^{1-o(1)} $ 的排列中尋找一個共同的單調子序列。
• 透過將陣列與3-均勻超圖邊著色關聯，建立Ramsey理論框架，以建模行與列之間的單調性約束。
• 引入頂點有序超圖模型 $ K^{(3)}_{N,N} $ 來編碼行與列的單調性，將問題與有序Ramsey數聯繫起來。
• 建立字典序單調陣列問題與離散結構（特別是組合立方體 $[k]^n$）的規範排序之間的聯繫。
• 利用排列統計與極值組合學技術，來界定避免出現大型單調或字典序單調子陣列的陣列大小。

实验结果

研究问题

• RQ1 $ M_d(n) $，即保證存在單調 $ n \times \cdots \times n $ 子陣列的最小 $ d $-維陣列尺寸，其最緊緻的上界為何？
• RQ2 $ L_d(n) $，即保證存在字典序單調 $ n \times \cdots \times n $ 子陣列的最小尺寸，其增長速率與 $ M_d(n) $ 相比如何？
• RQ3 Fishburn與Graham先前獲得的Ackermann型上界，是否能在單調與字典序單調兩種情況下得到顯著改進？
• RQ4 多維Erdős-Szekeres問題在多大程度上可被置於有序Ramsey理論的框架中？
• RQ5 需要多少個排列才能保證存在長度為 $ n $ 的共同單調子序列？

主要发现

• 對於 $ d=2 $，本文建立 $ M_2(n) \leq 2^{2^{(2+o(1))n}} $，顯著優於先前的Ackermann型上界。
• 對於 $ d=3 $，上界為 $ M_3(n) \leq 2^{2^{(2+o(1))n^2}} $，顯示雙指數中指數為二次型。
• 對於 $ d \geq 4 $，上界為 $ M_d(n) \leq 2^{2^{2^{O_d(n^{d-1})}}} $，為 $ n $ 的三重指數，且指數依賴於 $ d $。
• 對於字典序單調情形，本文達成四重指數上界 $ L_d(n) \leq 2^{2^{2^{2^{O_d(n^{d-1})}}}} $，優於先前結果。
• 作者證明 $ M_2(n) \leq \text{OR}(n) $，其中 $ \text{OR}(n) $ 為3-均勻超圖的有序Ramsey數，並進一步證明 $ \text{OR}(n) \leq 2^{2^{(2+o(1))n}} $。
• 結果顯示，多維Erdős-Szekeres問題與離散結構的規範排序及邊有序Ramsey理論有著深刻的關聯。