[论文解读] Ergodic theorems for laminations and foliations: recent results and perspectives

Viêt‐Anh Nguyên|arXiv (Cornell University)|May 14, 2020

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 91被引用 11

一句话总结

本文建立了黎曼曲面层与奇异全纯叶状结构的几何遍历定理，通过叶上测地线射线与热扩散，提出了李雅普诺夫指数的全新几何解释。证明了李雅普诺夫指数作为沿随机测地线方向平均扩张率的极限而出现，通过布朗运动与热扩散在双曲叶上的近似，将奥赛列杰茨的乘法遍历定理推广至层化结构。

ABSTRACT

This report discusses recent results as well as new perspectives in the ergodic theory for Riemann surface laminations, with an emphasis on singular holomorphic foliations by curves. The central notions of these developments are leafwise Poincar\\'e metric, directed positive harmonic currents, multiplicative cocycles and Lyapunov exponents. We deal with various ergodic theorems for such laminations: Random and Operator Ergodic Theorems, (Geometric) Birkhoff Ergodic Theorems, Oseledec Multiplicative Ergodic Theorem and Unique Ergodicity Theorems. Applications of these theorems are also given. In particular, we define and study the canonical Lyapunov exponents for a large family of singular holomorphic foliations on compact projective surfaces. Topological and algebro-geometric interpretations of these characteristic numbers are also treated. These results highlight the strong similarity as well as the fundamental differences between the ergodic theory of maps and that of Riemann surface laminations. Most of the results reported here are known. However, sufficient conditions for abstract heat diffusions to coincide with the leafwise heat diffusions (Subsection 5.2) are new ones.

研究动机与目标

• 将遍历定理——特别是奥赛列杰茨的乘法遍历定理与伯克霍夫型结果——推广至具有奇点的黎曼曲面层。
• 以叶上测地线射线及其在双曲叶中的扩张率，建立李雅普诺夫指数的几何解释。
• 阐明抽象热扩散与叶上热扩散之间的关系，识别其重合的充分条件。
• 为紧致射影曲面上的奇异全纯叶状结构定义并分析规范李雅普诺夫指数。
• 利用曲率密度与法丛几何，提供李雅普诺夫指数的上同调与几何公式。

提出的方法

• 将奥赛列杰茨乘法遍历定理应用于层上的上 cocycle，将其应用于双曲叶上的横截 cocycle。
• 通过 Lyons 与 Cranston 的定量估计，应用随机分析结果——特别是布朗运动边界行为与测地线射线的阴影效应。
• 通过几何伯克霍夫遍历定理的证明中导出的新几何估计，建立热扩散过程与测地线扩张率之间的联系。
• 利用正 $dd^c$-闭当前与切当前理论，分析层上的质量分布与调和测度。
• 将 Ledrappier 型的李雅普诺夫谱表征适应至层化设定，使李雅普诺夫指数可通过热流近似。
• 应用定向正调和当前与叶上庞加莱度量理论，定义并研究奇异叶状结构中的遍历性与唯一遍历性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在奇异层上，抽象热扩散何时与叶上热扩散重合？
• RQ2 奥赛列杰茨乘法遍历定理能否通过双曲层中的测地线射线实现几何解释？
• RQ3 紧致复曲面上奇异全纯叶状结构的李雅普诺夫指数的上同调公式是什么？
• RQ4 在叶状结构设定中，李雅普诺夫指数如何与曲率密度及法丛几何相关联？
• RQ5 李雅普诺夫指数的几何遍历定理是否在奇异全纯叶状结构的完整正则部分上成立？

主要发现

• 紧致光滑双曲层的李雅普诺夫指数，几乎必然地由叶上沿随机测地线射线的平均对数扩张率的极限实现。
• 对全测度叶上饱和 Borel 集 $ Y $ 中的每个 $ x $，最大李雅普诺夫指数 $ \chi_1 $ 是几乎所有方向 $ \theta \in [0,1) $ 上扩张率的极限，且对所有初始向量一致成立。
• 奥赛列杰茨分解在几何上被实现：每个李雅普诺夫指数 $ \chi_i $ 对应于第 $ i $ 个子空间 $ H_i(x) $ 中扩张率的极限，且满足 $ \chi_1 > \chi_2 > \cdots > \chi_m $。
• 证明了一项关于热扩散的新几何估计，使李雅普诺夫指数可通过测地线扩张率近似，这对建立主要遍历定理至关重要。
• 利用法丛的曲率密度，推导出李雅普诺夫指数的上同调公式，将动力系统不变量与代数几何数据联系起来。
• 本文提供了抽象扩散与叶上扩散重合的充分条件，这是层化扩散理论中的新结果。