[论文解读] Ergodicity of stochastic real Ginzburg-Landau equation driven by $\alpha$-stable noises

Lihu Xu|arXiv (Cornell University)|May 27, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 16被引用 5

一句话总结

本文证明了在 $\alpha \in (3/2, 2)$ 条件下，由加法 $\alpha$-稳定 Lévy 白噪声驱动的随机实 Ginzburg-Landau 方程存在唯一不变测度。通过证明系统具有强 Feller 性质且可访问零点——利用一种针对随机 $\alpha$-稳定卷积的新颖最大不等式以及截断非线性项的梯度估计——该研究绕过了因非 Lipschitz 非线性项和不连续路径而导致的不可约性失效问题。

ABSTRACT

We study the ergodicity of stochastic real Ginzburg-Landau equation driven by additive $\alpha$-stable noises, showing that as $\alpha \in (3/2,2)$, this stochastic system admits a unique invariant measure. After establishing the existence of invariant measures by the same method as in [9], we prove that the system is strong Feller and accessible to zero. These two properties imply the ergodicity by a simple but useful criterion in [16]. To establish the strong Feller property, we need to truncate the nonlinearity and apply a gradient estimate established in [26] (or see [24]} for a general version for the finite dimension systems). Because the solution has discontinuous trajectories and the nonlinearity is not Lipschitz, we can not solve a control problem to get irreducibility. Alternatively, we use a replacement, i.e., the fact that the system is accessible to zero. In section 3, we establish a maximal inequality for stochastic $\alpha$-stable convolution, which is crucial for studying the well-posedness, strong Feller property and the accessibility of the mild solution. We hope this inequality will also be useful for studying other SPDEs forced by $\alpha$-stable noises.

研究动机与目标

• 建立由加法 $\alpha$-稳定噪声驱动的随机实 Ginzburg-Landau 方程的不变测度的存在性与唯一性。
• 克服由于非 Lipschitz 非线性项和不连续样本路径导致的标准不可约性论证失效的问题。
• 为随机 $\alpha$-稳定卷积发展一种最大不等式，作为处理具有 Lévy 噪声的 SPDE 的关键技术工具。
• 通过强 Feller 性质与对零点的可访问性证明遍历性，从而绕过经典不可约性要求。
• 将遍历性准则的适用范围扩展至具有非高斯、重尾噪声过程的 SPDE。

提出的方法

• 使用 Galerkin 近似，通过文献 [9] 中的方法建立不变测度的存在性。
• 应用一种通过分部积分推导出的新颖随机 $\alpha$-稳定卷积最大不等式，避免使用分解技术。
• 对非线性项 $N(x) = -(x - x^3)$ 进行截断，以应用文献 [26] 中的梯度估计，从而证明强 Feller 性质。
• 通过路径依存估计以及 $P(\sup_{s \leq t} \|Z_s\|_V \leq \epsilon) > 0$ 的正性，建立对零点的可访问性。
• 采用文献 [16] 中的准则：若系统具有强 Feller 性质且可访问某一点，则其遍历性成立。
• 利用 Sobolev 嵌入与 Young 不等式，控制 $H$ 与 $V$-范数下的非线性项。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $\alpha \in (3/2, 2)$，由 $\alpha$-稳定噪声驱动的随机实 Ginzburg-Landau 方程是否 admits 唯一不变测度？
• RQ2 当噪声为非高斯且非线性项为非 Lipschitz 时，是否可在不依赖不可约性的情况下证明遍历性？
• RQ3 随机 $\alpha$-稳定卷积满足何种最大不等式？该不等式如何用于分析具有 $\alpha$-稳定噪声的 SPDE？
• RQ4 当 $\alpha \in (3/2, 2)$ 时，噪声为 $\alpha$-稳定的系统，其转移半群是否具有强 Feller 性质？
• RQ5 在具有 Lévy 噪声的 SPDE 中，对零点的可访问性是否可替代不可约性，以证明不变测度的唯一性？

主要发现

• 当 $\alpha \in (3/2, 2)$ 时，随机实 Ginzburg-Landau 方程 admits 唯一不变测度。
• 系统具有强 Feller 性质，该性质通过截断非线性项的梯度估计以及新推导的 $\alpha$-稳定卷积最大不等式得以证明。
• 通过证明对所有 $x \in H$ 和 $\delta > 0$，有 $P(t; x, B_H(\delta)) > 0$，建立了对零点的可访问性，该结果基于对噪声项的路径依存界。
• 通过分部积分方法推导出一种新的随机 $\alpha$-稳定卷积最大不等式，替代了 Da Prato-Kwapień-Zabczyk 的分解方法。
• 唯一不变测度支撑于空间 $V = D(A^{1/2})$，确保了平稳分布的正则性。
• 通过利用可访问性而非控制论意义上的不可约性，避免了对不可约性的依赖，为具有 Lévy 噪声的非 Lipschitz SPDE 提供了一条新的遍历性证明路径。