[论文解读] Erratum to Viscosity solutions to complex Monge-Ampère equations

Philippe Eyssidieux, Vincent Guedj+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 3被引用 5

一句话总结

本文为紧凯勒流形上退化复蒙日-阿普雷方程粘性解的比较原理提供了修正证明，适用于大同调类的充分大子集。作者用基于惩罚法与詹森-石井最大值原理的精细粘性方法，取代了原始证明中存在缺陷的局部化论证，确保了在充分大子集内连续粘性解的存在性与唯一性，尽管全局连续性仍为开放问题。

ABSTRACT

The proof of the comparison principlein [EGZ11] is not complete. We provide here an alternative proof, valid in the ample locus of any big cohomology class, and discuss the resulting modifications.

研究动机与目标

• 修正 [EGZ11] 中关于退化复蒙日-阿普雷方程粘性解比较原理原始证明中的缺陷。
• 在任意大同调类的充分大子集内建立有效的全局比较原理。
• 通过佩龙方法确保退化复蒙日-阿普雷方程粘性解的存在性与唯一性。
• 澄清解的正则性，表明其在充分大子集内连续，但未必全局连续。
• 将修正后的方法推广至抛物粘性理论，并实现拟 plurisubharmonic 函数的连续逼近。

提出的方法

• 用基于惩罚法与詹森-石井最大值原理的精细粘性方法，取代 [EGZ11] 中存在缺陷的局部化程序。
• 通过添加一个严格强拟凸项来扰动次解，以确保在原点处达到严格最大值。
• 通过正则化与形如 $ \frac{1}{2\varepsilon}|x-y|^2 $ 的惩罚函数，在局部区域应用粘性比较原理。
• 在充分大子集内某点 $ x_0 $ 附近使用局部坐标局部化问题，将方程转化为局部复蒙日-阿普雷不等式。
• 应用引理 1.2 在局部设定下比较次解与超解，导出关键不等式 $ e^{u(0)}\tilde{\mu}(0) \leq e^{v(0)}\tilde{\nu}(0) $。
• 通过取极限 $ \varepsilon \to 0 $ 恢复比较原理 $ \varphi \leq \psi $ 在充分大子集中的成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 原始证明中关于惩罚函数 $ \varphi_3 $ 的 Hessian 控制是否成立，尤其在 [EGZ11] 中？
• RQ2 能否构造一个在大同调类的充分大子集内成立的全局比较原理的新证明？
• RQ3 退化复蒙日-阿普雷方程的粘性解在充分大子集内是否连续？其全局连续性状态如何？
• RQ4 修正后的方法能否适应抛物设定，以证明抛物比较原理？
• RQ5 拟强拟凸函数能否通过在充分大子集内连续的 $ \omega $-psh 函数实现逼近？

主要发现

• 通过精细粘性方法，比较原理已在充分大子集内严格确立，取代了原始证明中存在缺陷的局部化论证。
• 退化复蒙日-阿普雷方程的粘性解存在且唯一，其连续性仅在充分大子集内得到保证。
• 通过佩龙方法构造的解在 $ X $ 上有界，并在 $ \mathrm{Amp}\{\omega\} $ 内连续，但未建立全局连续性。
• 关键不等式 $ e^{u(0)}\tilde{\mu}(0) \leq e^{v(0)}\tilde{\nu}(0) $ 通过惩罚法与最大值原理方法导出。
• 该方法可应用于抛物设定，为充分大子集中的抛物比较原理提供了替代证明。
• 拟强拟凸函数可被在充分大子集内连续的 $ \omega $-psh 函数逼近，但全局连续性仍为开放问题。