[论文解读] Singular Kahler-Einstein metrics

Philippe Eyssidieux, Vincent Guedj+1 more|SPIRE - Sciences Po Institutional REpository|Mar 17, 2006

Geometry and complex manifolds参考文献 33被引用 33

一句话总结

本文证明了在紧致凯勒流形上，对于大半正形式与 $L^p$-密度测度的退化复蒙日-安培方程，存在唯一有界且连续的解。主要贡献在于构造了在具有非正曲率的极小模型对与一般型 klt 对上，具有在闭解析子集外正则性的奇异凯勒-爱因斯坦度量。

ABSTRACT

We study degenerate complex Monge-Ampère equations of the form $(ω+dd^c φ)^n = e^{t φ} μ$ where $ω$ is a big semi-positive form on a compact Kähler manifold $X$ of dimension $n$, $t \in \R^+$, and $μ=fω^n$ is a positive measure with density $f\in L^p(X,ω^n)$, $p>1$. We prove the existence and unicity of bounded $ω$-plurisubharmonic solutions. We also prove that the solution is continuous under a further technical condition. In case $X$ is projective and $ω=ψ^*ω'$, where $ψ:X o V$ is a proper birational morphism to a normal projective variety, $[ω']\in NS_{\R} (V)$ is an ample class and $μ$ has only algebraic singularities, we prove that the solution is smooth in the regular locus of the equation. We use these results to construct singular Kähler-Einstein metrics of non-positive curvature on projective klt pairs, in particular on canonical models of algebraic varieties of general type.

研究动机与目标

• 将丘成桐对卡拉比猜想的解推广至奇异与退化情形，特别是针对具有非光滑或奇异度量的一般型极小模型。
• 解决在高维代数几何中，除光滑卡拉比-丘或轨道簇情形外，缺乏凯勒-爱因斯坦度量满意类比的问题。
• 在 klt 对与极小模型上建立具有有界势函数的奇异凯勒-爱因斯坦度量的存在性，即使底流形具有奇点。
• 证明在适当技术条件下，退化复蒙日-安培方程的解是有界且连续的，从而实现典范度量的构造。
• 通过极小模型程序将凯勒-爱因斯坦度量的存在性推广至奇异代数簇，特别是具有典范或 klt 奇点的一般型代数簇。

提出的方法

• 定义退化复蒙日-安培方程 $(\omega + dd^c\varphi)^n = f\omega^n$ 的弱解，其中 $\omega$ 为大形式且半正定，$f \in L^p(X, \omega^n)$，$p > 1$。
• 利用科洛杰伊的 $L^p$-估计以及 [GZ1, GZ2] 中发展的极值函数理论，证明有界 $\omega$-极值次调和解的存在性与唯一性。
• 在连续逼近性质下建立解的连续性，该性质要求存在一列递减的连续 $\omega$-极值次调和函数，其逐点收敛于 $\varphi$。
• 证明当 $\omega = \psi^*\omega'$，其中 $\psi: X \to V$ 是到正规射影代数簇的双有理态射，且 $\mu$ 具有代数奇点时，解 $\varphi$ 在方程的正则点处光滑。
• 将上述结果应用于通过极小模型程序在一般型极小模型与 klt 对上构造奇异凯勒-爱因斯坦度量。
• 利用 [Ts] 与 [TZ] 中的凯勒-里奇流收敛结果，证明极限当前满足蒙日-安培方程，并与定理 7.8 中的解一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 在大同调类上，对于具有 $L^p$-密度右端项的退化复蒙日-安培方程，能否构造出有界且连续的解？
• RQ2 在何种条件下，退化蒙日-安培方程的解保持连续或光滑？
• RQ3 能否在一般型极小模型上构造奇异凯勒-爱因斯坦度量，即使其本身不光滑或非轨道簇？
• RQ4 在 klt 对上，退化蒙日-安培方程的解是否对应于典范类中的典范度量？
• RQ5 在 $L^p$-拓扑下，具有 $L^p$-密度的蒙日-安培方程的解是否在逼近下稳定且连续？

主要发现

• 若 $f \in L^p(X, \omega^n)$，$p > 1$，则退化复蒙日-安培方程 $(\omega + dd^c\varphi)^n = f\omega^n$ 存在唯一有界 $\omega$-极值次调和解 $\varphi$，且满足 $\sup_X \varphi = -1$。
• 若存在一列递减的连续 $\omega$-极值次调和函数逐点收敛于 $\varphi$，且解映射 $f \mapsto \varphi$ 从 $L^p$ 连续映射到 $L^\infty$，则解 $\varphi$ 连续。
• 当 $\omega = \psi^*\omega'$，其中 $\psi: X \to V$ 为双有理态射，且 $\mu$ 具有代数奇点时，解 $\varphi$ 在方程的正则点处光滑。
• 在具有仅典范奇点且 $K_V$ 为正则的射影代数簇 $V$ 上，其典范类中存在唯一的奇异凯勒-爱因斯坦度量 $\Omega + dd^c\varphi$，其曲率为负，且 $\varphi \in L^\infty(V)$。
• 奇异凯勒-爱因斯坦当前具有局部有界势函数，且在 $V^{\text{reg}}$ 上光滑，其与 [TZ] 中所示的凯勒-里奇流极限一致。
• 对于 klt 对 $(V, \Delta)$，若 $K_V + \Delta$ 为正则或 $\mathbb{Q}$-CY，则在 $K_V + \Delta$ 的类中存在唯一的奇异凯勒-爱因斯坦度量，其在 $\Delta \cup V^{\text{sing}}$ 外光滑，且在 $[V^o, \Delta \cap V^o]$ 上光滑，其中 $\Delta$ 具有简单截面支持且重数为 $1 - 1/n$。