[论文解读] Estimating operator norms using covering nets

Fernando G. S. L. Brandão, Aram W. Harrow|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2015

Stochastic Gradient Optimization Techniques参考文献 37被引用 8

一句话总结

本文提出了一种基于覆盖网而非半定规划层级的广义算子范数的多项式及准多项式时间近似算法。通过利用 ℓ₁ 空间中的小覆盖网以及 Maurey 的经验方法，该方法在 2→q 范数、可分态优化和赋射张量范数等问题上实现了更优的运行时间与更简洁的证明，性能与几何洞察力与先前基于平方和（Sum-of-Squares）的方法相当或更优。

ABSTRACT

We present several polynomial- and quasipolynomial-time approximation schemes for a large class of generalized operator norms. Special cases include the $2 ightarrow q$ norm of matrices for $q>2$, the support function of the set of separable quantum states, finding the least noisy output of entanglement-breaking quantum channels, and approximating the injective tensor norm for a map between two Banach spaces whose factorization norm through $\ell_1^n$ is bounded. These reproduce and in some cases improve upon the performance of previous algorithms by Brandão-Christandl-Yard and followup work, which were based on the Sum-of-Squares hierarchy and whose analysis used techniques from quantum information such as the monogamy principle of entanglement. Our algorithms, by contrast, are based on brute force enumeration over carefully chosen covering nets. These have the advantage of using less memory, having much simpler proofs and giving new geometric insights into the problem. Net-based algorithms for similar problems were also presented by Shi-Wu and Barak-Kelner-Steurer, but in each case with a run-time that is exponential in the rank of some matrix. We achieve polynomial or quasipolynomial runtimes by using the much smaller nets that exist in $\ell_1$ spaces. This principle has been used in learning theory, where it is known as Maurey's empirical method.

研究动机与目标

• 为量子信息与泛函分析中的广义算子范数开发高效的近似算法。
• 用更简单、基于几何的网枚举技术替代复杂的平方和层级结构。
• 对 2→q 范数、可分态优化和赋射张量范数等问题实现多项式或准多项式时间复杂度。
• 通过基于网的方法揭示哪些范数适合进行准多项式优化，提供新的几何洞察。
• 在保持相近或更优近似保证的前提下，改进先前算法的运行时间与内存使用。

提出的方法

• 通过在 ℓ₁ 空间中对精心选择的 ε-覆盖网进行暴力枚举，以近似算子范数。
• 利用 Maurey 的经验方法在 ℓ₁ 空间中构造小覆盖网，从而将运行时间从矩阵秩的指数级降低至准多项式级。
• 将基于网的方法应用于估计矩阵的 2→q 范数（q > 2）、可分量子态上的支撑函数以及赋射张量范数。
• 从给定矩阵 M 构造一个矩阵 A，使得 A 的 2→q 范数与可分性范数 h_Sep(M) 相关联，通过对称投影和乘积态约束实现。
• 利用 Wick 定理将对称投影表示为乘积态上的积分，从而实现对高阶张量范数的基于网的近似。
• 将 3-SAT 可满足性问题归约为区分 ‖A‖₂→q ≥ C 与 ‖A‖₂→q ≤ c 的问题，通过一系列归约链建立硬度结果，基于已知的量子复杂性结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在 ℓ₁ 空间中使用覆盖网来设计广义算子范数的高效近似算法？
• RQ2 对于 2→q 范数估计等问题，基于网的方法在运行时间与内存使用上与平方和层级结构相比如何？
• RQ3 能否使用网枚举在准多项式时间内近似可分量子态上的支撑函数？
• RQ4 赋射张量范数与通过 ℓ₁ⁿ 的因子化范数之间有何关系？能否实现高效的近似？
• RQ5 估计 2→q 范数（当 q ≥ 4 且为偶数时）的计算复杂度如何？能否与 3-SAT 的硬度建立联系？

主要发现

• 本文实现了对矩阵 2→q 范数的准多项式时间近似方案，运行时间为 exp(O(δ⁻² log d₁ log d₂))，误差为 δ。
• 可分态上的支撑函数 h_Sep(d₁,d₂)(M) 可在时间 exp(O(δ⁻² log d₁ log d₂)) 内以加法误差 δ 近似，与先前基于 SoS 的结果一致，但证明更简洁。
• 该方法通过在 ℓ₁ 空间中使用更小的网，将运行时间从矩阵秩的指数级降低为维度的多项式或准多项式级，优于以往算法。
• 构建了从 3-SAT 到区分 ‖A‖₂→q ≥ C 与 ‖A‖₂→q ≤ c 的归约，表明对超常数 q 的 2→q 范数估计是硬问题，上限可达 Õ(√log d)。
• 该方法复现并部分改进了 Brandão-Christandl-Yard [BCY11] 及其后续工作的性能，同时避免了对量子信息原理（如纠缠的单重性）的依赖。
• 使用覆盖网为可进行准多项式优化的范数结构提供了新的几何洞察，尤其体现在其与通过 ℓ₁ 空间的因子化关系方面。