[论文解读] Estimating the Koebe radius for polynomials

Dmitriy Dmitrishin, Andrey Smorodin+1 more|arXiv (Cornell University)|May 17, 2018

Differential Equations and Boundary Problems参考文献 20被引用 5

一句话总结

该论文通过确定在虚部消失的条件下，使多项式在单位圆上像的最小实部最大化的最优多项式，解决了几何复分析中的一个极值问题。关键结果是得到了单值多项式Koebe半径的精确公式：$ R = \frac{1}{4}\sec^2\left(\frac{\pi}{N+2}\right) $，该公式由基于第二类切比雪夫多项式的特定系数构造的唯一多项式实现，其系数源自这些多项式的导数。

ABSTRACT

For a pair of conjugate trigonometrical polynomials $C (t) = \sum_ { j = 1 } ^N { { a_j}\cos jt }, S(t) = \sum_ { j = 1 } ^N { { a_j}\sin jt }$ with real coefficients and normalization ${a_1} = 1 $ we solve the extremal problem \[ \sup_ {a_2,...,a_N} \left ({ \min_t \left\{ {\Re \left ({ F\left ({ { e^ {it} } } ight) } ight): \Im \left ({ F\left ({ { e^ {it} } } ight) } ight) = 0 } ight\} } ight) = -\frac14 \sec ^2\fracπ{N + 2}. \] We show that the solution is unique and is given by \[ a_j^ {(0)} = \frac {1} { { { U'_N}\left ({\cos \frac{π} { { N + 2 } } } ight) } } { U' _ { N - j + 1 } }\left ({\cos \frac{π} { { N + 2 } } } ight) { U_ { j - 1 } }\left ({\cos \frac{π} { { N + 2 } } } ight), \] where the $U_j(x)$ are the Chebyshev polynomials of the second kind, and the $U'_j(x)$ are their derivatives, $j = 1, \ldots, N.$ As a consequence, we obtain some theorems on covering of intervals by polynomial images of the unit disc. We formulate several conjectures on a number of extremal problems on classes of polynomials.

研究动机与目标

• 在归一化条件 $ a_1 = 1 $ 下，确定单位圆上多项式 $ F(e^{it}) $ 的最小实部的上确界，其中虚部为零。
• 识别实现该上确界的唯一极值多项式，该多项式对应于次数为 $ N $ 的单值多项式的Koebe半径。
• 建立极值三角多项式与单位圆盘单值多项式映射之间的联系。
• 提出并支持关于极值多项式单值性与系数界的一些猜想。

提出的方法

• 将极值问题表述为在实系数且满足 $ a_1 = 1 $ 的条件下，最大化 $ \min_t \{ \Re(F(e^{it})) : \Im(F(e^{it})) = 0 \} $。
• 利用共轭三角多项式 $ C(t) = \sum a_j \cos jt $，$ S(t) = \sum a_j \sin jt $ 分析 $ F(e^{it}) $ 的实部与虚部。
• 应用基于 $ S(t) $ 与 $ C(t) $ 的根的因式分解引理，表明公共零点意味着涉及 $ \cos t - \cos t_k $ 的乘积结构。
• 通过第二类切比雪夫多项式的导数推导出极值系数：$ a_j^{(0)} = \frac{U'_{N-j+1}(\cos \frac{\pi}{N+2}) U_{j-1}(\cos \frac{\pi}{N+2})}{U'_N(\cos \frac{\pi}{N+2})} $。
• 建立Koebe半径为 $ \frac{1}{4} \sec^2 \frac{\pi}{N+2} $，该结果源自虚部零点集上最小实部的推导。
• 利用数值证据和已知的单值性准则，支持关于极值多项式及其推广形式的单值性猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于满足 $ a_1 = 1 $ 的次数为 $ N $ 的单值多项式，当 $ \Im(F(e^{it})) = 0 $ 时，$ F(e^{it}) $ 在单位圆上最小实部的最大可能值是多少？
• RQ2 实现该最大值的唯一极值多项式是什么？它与第二类切比雪夫多项式有何关系？
• RQ3 极值多项式在单位圆盘内是否单值？它是否实现了次数为 $ N $ 的单值多项式Koebe半径的最优值？
• RQ4 当 $ N \to \infty $ 时，极值单值多项式的系数界是否收敛到经典 $ j $-界？
• RQ5 该极值问题能否推广到奇三角多项式或复系数多项式情形？此时Koebe半径公式是否仍然成立？

主要发现

• 在虚部零点集上，最小实部的极值为 $ -\frac{1}{4} \sec^2 \frac{\pi}{N+2} $，且该值精确成立。
• 唯一极值多项式由系数 $ a_j^{(0)} = \frac{U'_{N-j+1}(\cos \frac{\pi}{N+2}) U_{j-1}(\cos \frac{\pi}{N+2})}{U'_N(\cos \frac{\pi}{N+2})} $ 给出，其中 $ U_j $ 为第二类切比雪夫多项式。
• 次数为 $ N $ 的单值多项式的Koebe半径为 $ \frac{1}{4} \sec^2 \frac{\pi}{N+2} $，该结果为精确最优，且由所导出的极值多项式唯一实现。
• 数值证据和已知的单值性准则支持该猜想：对所有 $ N \geq 1 $，极值多项式在单位圆盘内是单值的。
• 极值多项式的系数界在 $ N \to \infty $ 时收敛于 $ j $，支持该猜想：极值多项式提供了最优的系数估计。
• 对于奇三角多项式 $ C(t) = \sum a_j \cos(2j-1)t $，$ S(t) = \sum a_j \sin(2j-1)t $，在 $ S(t) $ 的零点处 $ |C(t)| $ 的下确界为 $ -\frac{1}{2} \sec^2 \frac{\pi}{2N+2} $，并存在相应的极值多项式。