[论文解读] Estimating the Parameters of Binomial and Poisson Distributions via Multistage Sampling

Xinjia Chen|ArXiv.org|Oct 2, 2008

Fluid Dynamics and Heat Transfer参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文提出了一种多阶段抽样方案，用于在未知参数的情况下估计二项分布和泊松分布的参数，采用基于累积二项尾概率和泊松尾概率的自适应停止规则。该方法严格保证了预定的精度和置信水平，确保估计参数以至少 $1 - \delta$ 的概率落在指定的绝对或相对误差范围内。其主要贡献是一种非渐近、无需保守估计的方法，相较于传统方法在效率和理论严谨性方面表现更优。

ABSTRACT

In this paper, we have developed a new class of sampling schemes for estimating parameters of binomial and Poisson distributions. Without any information of the unknown parameters, our sampling schemes rigorously guarantee prescribed levels of precision and confidence.

研究动机与目标

• 解决现有二项分布和泊松分布参数估计方法的局限性，这些方法通常依赖渐近近似或过于保守的界。
• 开发无需已知未知参数的抽样方案，同时保证预定的精度和置信水平。
• 通过引入非渐近、多阶段框架并提供严格的概率保证，克服现有方法在效率和理论上的不足。
• 确保估计参数以高概率落在用户指定的绝对或相对误差范围内，且不依赖于真实参数值。

提出的方法

• 该方法采用多阶段抽样设计，其中样本量 $n_1 < n_2 < \cdots < n_s$ 基于包含 $\varepsilon$、$\delta$、$\zeta$ 和 $\rho$ 的递归序列选定，$\tau$ 决定阶段数。
• 在每个阶段 $\ell$，计算样本均值 $\widehat{p}_\ell = K_\ell / n_\ell$，其中 $K_\ell = \sum_{i=1}^{n_\ell} X_i$。
• 当同时满足 $S_{\mathrm{B}}(K_\ell, n_\ell, n_\ell, \widehat{p}_\ell - \varepsilon) \leq \zeta\delta$ 和 $S_{\mathrm{B}}(0, K_\ell, n_\ell, \widehat{p}_\ell + \varepsilon) \leq \zeta\delta$ 时触发停止规则，确保估计值以高置信度落在真实 $p$ 的 $\varepsilon$ 范围内。
• 对于泊松估计，该方法使用基于 $S_{\mathrm{P}}(K, \infty, n, \lambda)$ 和 $S_{\mathrm{P}}(0, K, n, \lambda)$ 的类似停止规则，置信界由尾概率不等式推导得出。
• 该框架使用双重决策变量和对尾概率的递归界，确保整体误差概率不超过 $\delta$。
• 理论保证通过二项和泊松累积分布函数的界推导得出，关键不等式涉及不完全伽马函数和对数近似。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计出多阶段抽样方案，在无需先验参数知识的情况下，保证二项参数估计的绝对误差和置信水平？
• RQ2 如何在相同的非渐近框架下，实现泊松参数估计的绝对误差和相对误差界？
• RQ3 为确保估计量以至少 $1 - \delta$ 的概率落在指定误差区间内，所需的最小样本量是多少？
• RQ4 如何使抽样方案在避免保守界或渐近近似的同时保持高效？

主要发现

• 所提出的多阶段抽样方案确保对任意 $p \in (0,1)$，有 $\Pr\{ |\widehat{p} - p| < \varepsilon \mid p \} \geq 1 - \delta$，前提是 $0 < \zeta \leq \frac{1}{2(\tau + 1)}$。
• 对于二项估计，该方法保证绝对误差被 $\varepsilon$ 限制，置信水平为 $1 - \delta$，使用由 $\varepsilon$、$\delta$ 和 $\rho$ 决定的递增样本量序列。
• 抽样过程几乎必然终止，因为二项尾概率的性质保证了停止条件最终会被满足。
• 对于泊松估计，当 $0 < \zeta < \frac{1}{2(\tau + 1)}$ 时，该方法确保 $\Pr\{ |\widehat{\lambda} - \lambda| < \varepsilon_a \text{ 或 } |\widehat{\lambda} - \lambda| < \varepsilon_r \lambda \} > 1 - \delta$。
• 该方法避免了渐近近似和保守界，提供了一种非渐近、理论严谨的传统估计技术的替代方案。
• 通过使用 $S_{\mathrm{B}}$ 和 $S_{\mathrm{P}}$ 等尾概率的理论界，推导出紧密的置信区间，并确保误差概率被控制在 $\delta$ 以内。