[论文解读] Estimation and Prediction using generalized Wendland Covariance Functions under fixed domain asymptotics

Moreno Bevilacqua, Tarik Faouzi+2 more|Zurich Open Repository and Archive (University of Zurich)|Jul 23, 2016

Soil Geostatistics and Mapping参考文献 25被引用 6

一句话总结

本文在固定域渐近框架下，研究了使用广义Wendland（GW）协方差函数的高斯随机场的最大似然估计与预测的渐近性质。证明了微ergodic参数估计量的强一致性与渐近正态性，并表明在特定条件下GW模型与Matérn模型等价，从而实现了大规模空间数据集的高效、基于稀疏矩阵的推断。

ABSTRACT

We study estimation and prediction of Gaussian random fields with covariance models belonging to the generalized Wendland (GW) class, under fixed domain asymptotics. As the Matérn case, this class allows a continuous parameterization of smoothness of the underlying Gaussian random field, being additionally compactly supported. The paper is divided into two parts: First, we characterize the equivalence of two Gaussian measures with GW covariance function, and we provide sufficient conditions for the equivalence of two Gaussian measures with Matérn and GW covariance functions. We elucidate the consequences of these facts in terms of (misspecified) best linear unbiased predictors. In the second part, we establish strong consistency and asymptotic distribution of the maximum likelihood estimator of the microergodic parameter associated to GW covariance model, under fixed domain asymptotics. Our findings are illustrated through a simulation study: The first compares the finite sample behavior of the maximum likelihood estimation of the microergodic parameter with the given asymptotic distribution. We then compare the finite-sample behavior of the prediction and its associated mean square error when using two equivalent Gaussian measures with Matérn and GW covariance model, using covariance tapering as benchmark.

研究动机与目标

• 在高斯随机场中，针对广义Wendland（GW）协方差函数，建立微ergodic参数最大似然估计的渐近性质。
• 在固定域渐近框架下，刻画由GW协方差函数诱导的两个高斯测度之间的等价性。
• 研究GW与Matérn协方差函数在何种条件下诱导等价的高斯测度，从而在模型误设下实现稳健预测。
• 评估在有限样本下使用GW模型进行最大似然估计与预测的性能，尤其与协方差截断法及误设模型进行比较。
• 展示GW模型在大规模空间数据集中的实际优势，相较于传统协方差截断法，因其固有的紧支集与稀疏矩阵结构而更具效率。

提出的方法

• 利用Cameron-Martin定理与谱分析，推导出两个具有GW协方差函数的高斯测度等价的充分条件。
• 应用固定域渐近理论，证明当紧凑支撑已知或估计时，GW模型中微ergodic参数的最大似然估计量的强一致性和渐近正态性。
• 利用GW协方差函数的谱表示，分析其在有界区域内采样密度趋于无穷时的极限行为。
• 以最佳线性无偏预测器（BLUP）和均方误差（MSE）为准则，比较在误设条件下GW模型与Matérn模型的预测性能。
• 通过模拟研究评估ML估计与预测的有限样本行为，并与渐近近似结果进行对比。
• 评估任意选择紧凑支撑对估计精度的影响，尤其关注其与真实底层范围参数的关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在固定域渐近框架下，两个具有广义Wendland协方差函数的高斯测度在何种条件下等价？
• RQ2 在固定域渐近框架下，广义Wendland协方差模型的微ergodic参数是否可一致估计？其渐近分布为何？
• RQ3 在何种条件下，由Matérn与广义Wendland协方差函数诱导的高斯测度等价？
• RQ4 在固定域渐近框架下，使用GW模型与误设的Matérn模型或协方差截断模型相比，预测效率如何？
• RQ5 在GW模型中，紧凑支撑的选择在多大程度上影响ML估计与预测的有限样本性能？

主要发现

• 即使紧凑支撑参数被估计，广义Wendland协方差模型的微ergodic参数在固定域渐近框架下仍具有强一致性与渐近正态性。
• 提供了充分条件，使得由Matérn与广义Wendland协方差函数诱导的两个高斯测度等价，从而在模型误设下仍可实现有效预测。
• 模拟结果表明，当使用固定紧凑支撑时，ML估计的有限样本性能较差，尤其在支撑选择错误时更为明显；但当参数联合估计时，性能显著提升。
• 使用等价紧凑支撑的GW模型预测性能优于朴素的协方差截断（CT）预测器与误设的Matérn模型，尤其当截断支撑过小时表现更优。
• 由于其固有的紧凑支集与能以极小偏差近似Matérn协方差函数的能力，GW模型为大规模空间数据集提供了优于协方差截断法的更优替代方案。
• 双截断方法计算成本过高，无法与GW建模相提并论；在估计方面，GW模型比单截断方法更高效、更准确。