[论文解读] Estimation of Lyapunov dimension for the Chen and Lu systems

Г. А. Леонов, Н. В. Кузнецов+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2015

Chaos control and synchronization参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文使用Leonov针对广义Lorenz系统提出的解析方法，更正了先前对Chen系统和Lu系统Lyapunov维数的估计错误。研究证明，这些系统的经典参数并不位于Lyapunov维数界有效的参数区域内，尽管存在混沌的数值证据，其混沌吸引子的维数仍为开放问题。

ABSTRACT

Nowadays various estimates of Lyapunov dimension of Lorenz-like systems attractors are actively developed. Within the frame of this study the question arises whether it is possible to obtain the corresponding estimates of dimension for the Chen and Lu systems using the reduction of them to the generalized Lorenz system. In the work (Chen and Yang, 2013) Leonov's method was applied for the estimation of Lyapunov dimension, and as a consequence the Lyapunov dimension of attractors of the Chen and Lu systems with the classical parameters was estimated. In the present work an inaccuracy in (Chen and Yang, 2013) is corrected and it is shown that the revised domain of parameters, where the estimate of Lyapunov dimension is valid, does not involve the classical parameters of the Chen and Lu systems.

研究动机与目标

• 更正先前对Chen和Lu系统Lyapunov维数的解析估计中的不准确之处。
• 确定通过Leonov方法获得Lyapunov维数界有效的参数区域。
• 评估Chen和Lu系统经典参数是否位于该有效区域内。
• 研究该解析方法在d=0及负参数情况下的适用性。

提出的方法

• 应用基于直接Lyapunov方法的Leonov解析方法，估计广义Lorenz系统中不变集的Lyapunov维数。
• 通过变换将Chen和Lu系统转化为a=1的广义Lorenz系统形式，保持Lyapunov维数的不变性。
• 通过矩阵特征值分析$ \frac{1}{2}(S J S^{-1} + (S J S^{-1})^*) $，推导维数界的有效条件。
• 应用定理4，基于特征值条件和标量函数$ \vartheta $，推导出Lyapunov维数界成立的二维参数区域。
• 通过改进的不等式和对$ \gamma^{(II)} $的根查找方法，将结果扩展至d=0及负参数的情况。
• 通过数值模拟验证结果，并将经典Chen和Lu系统的参数点与推导出的参数域进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 Chen和Lu系统的Lyapunov维数解析估计是否适用于其经典参数？
• RQ2 通过Leonov方法获得Lyapunov维数界的正确参数域是什么？
• RQ3 为何数值模拟在推导出的参数域内未能找到混沌吸引子？
• RQ4 该解析方法能否推广至d=0及负系统参数的情况？

主要发现

• Chen系统（35, 3, 28）和Lu系统（36, 3, 20）的经典参数不位于Lyapunov维数界有效的参数区域内。
• Lyapunov维数估计的修正参数域不包含经典参数，因此[4]中的先前断言不成立。
• 当d=0时，在特定条件下推导出新的解析界$ \dim_L K = 3 - \frac{2(a+b)}{a + \sqrt{a^2 + 4ac}} $。
• 参数集a=1, b=0.8, c=9.2满足定理5的条件，但不满足定理1的条件，表明新结果具有更广的适用性。
• 使用经典Chen和Lu系统参数的数值模拟在推导出的参数域内未产生混沌吸引子，支持了分析结果。
• 经典Lorenz吸引子的Lyapunov维数可被解析确定，但Chen和Lu系统的相应问题仍为开放问题。