[论文解读] $\eta$-periodic motivic stable homotopy theory over Dedekind domains

Tom Bachmann|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2020

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 26被引用 4

一句话总结

本文在2可逆的混合特征 Dedekind 环上建立了 $η$-周期 motivic 稳定同伦理论，将关键 motivic 谱如 $ω$-K-理论和 Witt 上同调推广至此类基底。通过利用 framed transfers 和 $η$-局部化，证明了基变换不变性，并将 [BH20] 中的基本纤维序列推广至任意 Dedekind 环，从而实现了 $η$-周期化代数 cobordism 群的计算。

ABSTRACT

We construct well-behaved extensions of the motivic spectra representing generalized motivic cohomology and connective Balmer--Witt K-theory (among others) to mixed characteristic Dedekind schemes on which 2 is invertible. As a consequence we lift the fundamental fiber sequence of $\\eta$-periodic motivic stable homotopy theory established in [arxiv:2005.06778] from fields to arbitrary base schemes, and use this to determine (among other things) the $\\eta$-periodized algebraic symplectic and SL-cobordism groups of mixed characteristic Dedekind schemes containing 1/2.

研究动机与目标

• 将 $η$-周期 motivic 谱——如 $ω$-K-理论、Witt 上同调和高阶 Chow–Witt 群——从域推广至混合特征 Dedekind 环。
• 在 2 可逆的 Dedekind 环上建立这些谱的基变换不变性，从而在算术几何中支持积分论证。
• 将 [BH20] 中的基本 $η$-周期纤维序列推广至任意基底概形，扩展代数 cobordism 和 $SL$-cobordism 的结果。
• 通过层论和 framed transfer 技术，提供 $ω$-K-理论等谱的显式、计算友好的描述。

提出的方法

• 利用 motivic 谱与 framed 谱之间的等价性（$\mathcal{SH}^{S^1\mathrm{fr}}(D) \simeq \mathcal{SH}^{\mathrm{fr}}(D)$）简化 $η$-局部化过程，避免使用 $\mathbb{P}^1$-稳定化。
• 在 $\mathcal{SH}^{S^1\mathrm{fr}}(D)$ 中应用 framed transfers 和 Hopf 映射 $\eta$，定义 $η$-周期 $S^1$-谱，并将其与已知谱关联。
• 利用 [Gei04] 中关于离散赋值环上 Witt 环的 Gersten 猜想，证明 Witt 层 $\underline{W}$ 的严格 $\mathbb{A}^1$-不变性。
• 通过向剩余域的拉回（来自 [BH21, Prop. B.3]）进行基变换检测，验证 $\mathcal{SH}(D)$ 中的等价性和连通性。
• 利用 $\mathrm{H}\mathbb{Z}$ 的基变换稳定性（Spitzweck）和 Jacobson 对 Witt 环的结果，构造并比较谱。
• 应用实现实现和在 2 及 $\mathbb{Z}[1/2]$ 处的局部化，将问题约化至 $\mathbb{R}$ 和 $\mathbb{Q}$ 上的已知情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将 [BH20] 中 $η$-周期 motivic 稳定同伦理论的纤维序列从域推广至含 $1/2$ 的任意 Dedekind 概形？
• RQ2 在 2 可逆的 Dedekind 环上，谱 $\mathrm{kw}$、$\mathrm{HW}$、$\mathrm{H}_{W}\mathbb{Z}$ 和 $\underline{K}^W$ 是否具有基变换稳定性？
• RQ3 在混合特征 Dedekind 环上，$η$-周期化代数 $\mathrm{SL}$-cobordism 和辛 cobordism 群的结构是怎样的？
• RQ4 能否通过 framed transfer 和层论数据，在此类基底上显式描述 $η$-周期谱？

主要发现

• 对任意含 $1/2$ 的 Dedekind 概形 $D$，基本 $η$-周期纤维序列 $\mathbbm{1}[\eta^{-1}]_{(2)} \to \mathrm{kw}_{(2)} \to \Sigma^4 \mathrm{kw}_{(2)}$ 在 $\mathcal{SH}(D)$ 中成立，将 [BH20] 的结果推广至一般基底。
• 谱 $\underline{K}^W$ 的同伦层满足 $\underline{\pi}_0(\underline{K}^W)_* = \underline{I}^*$ 且当 $i \neq 0$ 时 $\underline{\pi}_i(\underline{K}^W)_* = 0$，证实了 $\underline{W}$ 的严格 $\mathbb{A}^1$-不变性。
• 所有列出的谱——包括 $\mathrm{kw}$、$\mathrm{HW}$、$\mathrm{H}_{W}\mathbb{Z}$、$\underline{K}^W$ 和 $\mathrm{H}\tilde{\mathbb{Z}}$——在任意含 $1/2$ 的 Dedekind 概形 $S$ 上均为 $\mathcal{SH}(S)$ 中的可展谱，该结论通过基变换和 $\mathrm{MSp}$ 的可展性得以证明。
• $\mathrm{kw}^{*}_{(2)}\mathrm{kw}$-代数具有非交换结构，满足 $\varphi\beta = 9\beta\varphi + 8$，推广了 $\mathbb{Q}$ 上的已知情形。
• smash 积 $\mathrm{HW} \wedge \mathrm{HW}_{(2)}$ 被识别为 $\bigvee_{n \geq 0} \Sigma^{4n} \mathrm{HW}/8n$，其生成元满足 $x_m x_n = \binom{m+n}{n} x_{m+n}$。
• $η$-周期化 $\mathrm{MSL}$-谱满足 $\mathrm{MSp}/(y_1,y_3,\dots) \simeq \mathrm{MSL}$ 且 $\mathrm{MSL}/(y_4,y_6,\dots) \simeq \mathrm{kw}$，后者在拉回到域后成为等价。