[论文解读] Euler class groups and motivic stable cohomotopy

Aravind Asok, Jean Fasel+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 40被引用 8

一句话总结

本文在A¹-同伦理论中建立了代数欧拉类群与动机同伦群之间的深刻联系，表明在基域和维数满足适当条件时，光滑仿射k-代数簇上余维数为d的循环的欧拉类群，通过与动机同伦群的共同识别，同构于其余维数d的Chow–Witt群。该结果解决了关于零维循环Chow群结构的长期悬而未决问题，并统一了欧拉类的三种方法：代数的（Bhatwadekar–Sridharan）、上同调的（Barge–Morel）和同伦的（Morel）。

ABSTRACT

We study maps from a smooth scheme to a motivic sphere in the Morel-Voevodsky ${\mathbb A}^1$-homotopy category, i.e., motivic cohomotopy sets. Following Borsuk, we show that, in the presence of suitable hypotheses on the dimension of the source, motivic cohomotopy sets can be equipped with functorial abelian group structures. We then explore links between motivic cohomotopy groups, Euler class groups à la Nori-Bhatwadekar-Sridharan and Chow-Witt groups. We show that, again under suitable hypotheses on the base field $k$, if $X$ is a smooth affine $k$-variety of dimension $d$, then the Euler class group of codimension $d$ cycles coincides with the codimension $d$ Chow-Witt group; the identification proceeds by comparing both groups with a suitable motivic cohomotopy group. As a byproduct, we describe the Chow group of zero cycles on a smooth affine $k$-scheme as the quotient of the free abelian group on zero cycles by the subgroup generated by reduced complete intersection ideals; this answers a question of S. Bhatwadekar and R. Sridharan.

研究动机与目标

• 统一代数几何中欧拉类的三种方法：代数的（Bhatwadekar–Sridharan）、上同调的（Barge–Morel）和同伦的（Morel）。
• 表明动机同伦群为解释欧拉类群和Chow–Witt群提供了共同框架。
• 通过将欧拉类用动机同伦群表示，解决Barge与Morel的猜想。
• 描述光滑仿射概形上零维循环的Chow群作为关于约化完备交理想生成子群的商群，回答Bhatwadekar与Sridharan提出的问题。

提出的方法

• 使用Morel–Voevodsky的A¹-同伦范畴，将动机同伦集定义为到动机球面的映射集。
• 在维数约束下应用Borsuk定理，为动机同伦集赋予阿贝尔群结构。
• 通过理想与满射构造从单位行模初等矩阵到欧拉类群的比较映射。
• 在适当假设下，建立欧拉类群$\mathrm{E}^d(R)$、动机同伦群$\pi^{\mathrm{A}^1}_{-d}(X)$与Chow–Witt群$\widetilde{CH}^d(X)$之间的典范同构。
• 利用同伦不变性与初等变换，证明从单位行到欧拉类群的映射是良定义的，并保持群结构。
• 通过Segre类同态与理想论构造，将欧拉类与Chow–Witt循环联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在A¹-同伦理论中，欧拉类群如何被解释为动机同伦群？
• RQ2 在何种条件下，光滑仿射k-代数簇$X$的欧拉类群$\mathrm{E}^d(X)$与Chow–Witt群$\widetilde{CH}^d(X)$重合？
• RQ3 动机同伦群$\pi^{\mathrm{A}^1}_{-d}(X)$能否作为代数、上同调与同伦欧拉类的统一框架？
• RQ4 光滑仿射k-概形上零维循环的Chow群结构如何？其与完备交理想有何关联？
• RQ5 从单位行模初等矩阵到欧拉类群的映射是否为群同态？

主要发现

• 当$k$为无限域且$X$为$k$上光滑的光滑仿射$k$-代数簇时，余维数为$d$的循环的欧拉类群$\mathrm{E}^d(X)$同构于余维数$d$的Chow–Witt群$\widetilde{CH}^d(X)$，其中$X$的维数为$d$。
• 该同构通过与动机同伦群$\pi^{\mathrm{A}^1}_{-d}(X)$的共同识别实现，建立了障碍理论与动机同伦理论之间的桥梁。
• 光滑仿射$k$-概形上零维循环的Chow群同构于零维循环生成的自由阿贝尔群，模去由约化完备交理想生成的子群。
• 在给定假设下，由单位行定义的映射$\phi: \mathrm{Um}_{d+1}(R)/E_{d+1}(R) \to \mathrm{E}^d(R)$是良定义的群同态。
• 动机同伦集上的群结构是函子性的，源于A¹-同伦范畴的结构，推广了经典的Borsuk型结果。
• Bhatwadekar–Sridharan的欧拉类群与Barge–Morel的Chow–Witt群之间的比较，通过共同的动机同伦群实现，解决了长期悬而未决的猜想。