[论文解读] The intrinsic stable normal cone

Marc Levine|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 15被引用 8

一句话总结

本文在等变 motivic 稳定同伦范畴中构造了一个内在稳定的法锥，使得任意 motivic 上同调理论均可定义扭曲的 Borel-Moore 同调中的虚拟基本类。该工作将 Behrend-Fantechi 的虚拟基本类推广至 motivic 同伦理论，恢复了经典的不变量（如 Chow 群），并将其扩展至如 Hermitian K-理论和 Chow-Witt 理论等定向理论。

ABSTRACT

We construct an analog of the intrinsic normal cone of Behrend-Fantechi in the equivariant motivic stable homotopy category over a base-scheme B and construct a fundament class in E-cohomology for any cohomology theory E in SH(B). For affine B, a perfect obstruction theory gives rise to a virtual fundamental class in a twisted Borel-Moore E-homology for arbitrary E. This includes motivic cohomology (homotopy invariant) K-theory algebraic cobordism and the oriented Chow groups of Barge-Morel and Fasel. In the case of motivic cohomology, we recover the constructions of Behrend-Fantechi, with values in the Chow group.

研究动机与目标

• 将虚拟基本类的构造从代数 cobordism 和 Chow 群推广至任意 motivic 上同调理论。
• 克服在如代数 cobordism 等一般 motivic 上同调理论中基本类通常不存在的局限性。
• 为 motivic 稳定同伦理论中的枚举不变量提供同伦论框架。
• 将 Behrend-Fantechi 的构造推广至等变 motivic 稳定同伦理论的设定，避免依赖堆栈理论基础。
• 通过 A1-局部度，在临界簇情形下恢复经典不变量（如 Chow 群中的次数）和 GW(k)-值不变量。

提出的方法

• 在 $G$-拟射影的 $B$-概形 $Z$ 上，于等变 motivic 稳定同伦范畴 $\mathrm{SH}^G(B)$ 中构造内在稳定法锥 $\mathfrak{C}^{st}_Z$。
• 利用 motivic 球面谱，定义共同伦中的基本类 $[\mathfrak{C}^{st}_Z]$ 于 $\mathbb{S}^{0,0}_{B}(\mathfrak{C}^{st}_Z)$。
• 对于一个完美障碍理论 $[\phi]: E_\bullet \to \mathbb{L}_{Z/B}$，在扭曲的 Borel-Moore 同调 $\mathbb{S}^{\mathrm{B.M.}}(Z, \mathbb{V}(E_\bullet))$ 中构造虚拟基本类 $[Z,\phi]^{\mathrm{vir}}$。
• 应用单位映射 $\epsilon_\mathcal{E}: \mathbb{S}_B \to \mathcal{E}$ 将类上拉至任意 motivic 环谱 $\mathcal{E}$，从而在 $\mathcal{E}^{\mathrm{B.M.}}(Z, \mathbb{V}(E_\bullet))$ 中得到 $[Z,\phi]^{\mathrm{vir}}_\mathcal{E}$。
• 利用同伦不变性与 $\mathbb{A}^1$-局部度，识别在临界簇情形下虚拟类的推出等于一个映射的 $\mathbb{A}^1$-度。
• 通过命题 7.2 证明构造中选择的独立性，确保虚拟类在 motivic 设定下的良好定义。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将虚拟基本类从 Chow 群推广至任意 motivic 上同调理论？
• RQ2 在缺乏完整堆栈理论框架的条件下，能否将内在法锥构造适配至 motivic 稳定同伦理论？
• RQ3 $\mathbb{A}^1$-局部度在 motivic 不变量中替代经典交重重数的角色是什么？
• RQ4 虚拟基本类在 motivic 设定下对推出与退化行为的反应如何？
• RQ5 能否将光滑概形上函数的临界簇视为 motivic 上同调中的虚拟基本类？

主要发现

• 内在稳定法锥 $\mathfrak{C}^{st}_Z$ 在 $\mathrm{SH}^G(B)$ 中被构造，为经典内在法锥提供了同伦论替代。
• 基本类 $[\mathfrak{C}^{st}_Z]$ 存在于共同伦 $\mathbb{S}^{0,0}_{B}(\mathfrak{C}^{st}_Z)$ 中，从而支持后续虚拟类的构造。
• 对于任意 motivic 上同调理论 $\mathcal{E}$，虚拟基本类 $[Z,\phi]^{\mathrm{vir}}_\mathcal{E}$ 良好定义且与选择无关，如命题 7.2 所示。
• 当 $\mathcal{E} = H\mathbb{Z}$ 时，该构造恢复了 Chow 群中的经典虚拟基本类。
• 在零维临界簇情形下，虚拟类的推出等于 $\mathbb{A}^1$-局部度：$\pi_{Z*}([Z,\partial_f]^{\mathrm{vir}}) = \delta_{\mathbb{A}^1}(\partial f, Z_{\mathrm{red}})$ 在 $\mathrm{GW}(k)$ 中。
• 对于函数 $f: \mathbb{A}^n \to \mathbb{A}^1$ 且其临界簇 $Z$ 为零维的情形，虚拟类的次数由雅可比映射的 $\mathbb{A}^1$-度给出，从而得到一个 $\mathrm{GW}(k)$-值不变量。