[论文解读] Euler class of taut foliations and Dehn filling

Ying Hu|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2019

Geometric and Algebraic Topology参考文献 33被引用 4

一句话总结

该论文通过相对陈类与模同余条件，建立了在 $Χ$-同调实球面的德恩填充核心上，叶状结构的欧拉类为零的充要条件。该结果被应用于证明：许多双曲纤维化3-流形的德恩填充——例如当 $r\geq3$ 时的双阶结外侧 $P(-2,3,2r+1)$——可通过欧拉类为零的叶状结构实现基本群的左序性。

ABSTRACT

In this article, we study the Euler class of taut foliations on the Dehn fillings of a $\mathbb{Q}$-homology solid torus. We give a necessary and sufficient condition for the Euler class of a foliation transverse to the core of the filling solid torus to vanish. We apply this condition to taut foliations on Dehn fillings of hyperbolic fibered manifolds and obtain many new left-orderable Dehn filling slopes on these manifolds. For instance, we show that when $X$ is the exterior of a pretzel knot $P(-2,3,2r+1)$, $r\geq 3$, $π_1(X(α_n))$ is left-orderable for a sequence of positive slopes $α_n$ with $α_0 =2g-2$ and $α_n o 2g-1$. Lastly, we prove that given any $\mathbb{Q}$-homology solid torus, the set of slopes for which the corresponding Dehn fillings admit a taut foliation transverse to the core with zero Euler class is nowhere dense in $\mathbb{R}\cup \{\frac{1}{0}\}$.

研究动机与目标

• 确定在 $Χ$-同调实球面的德恩填充核心上，与之横截的叶状结构的欧拉类为零的条件。
• 将此判别准则应用于构造双曲纤维化3-流形上新的左序德恩填充例子。
• 证明存在欧拉类为零的横截叶状结构的填充斜率集合在有理斜率球面上是处处无处稠密的。
• 将左序性结果推广至特定双阶结在斜率接近 $2g-1$ 时的正斜率族。

提出的方法

• 使用与 $\partial X$ 上向外指向截面 $\sigma$ 相关的相对欧拉类 $e_{\sigma}(\mathcal{F})$。
• 应用定理 1.4：在 $X(p/q)$ 上扩展叶状结构 $\widehat{\mathcal{F}}$ 的欧拉类为零当且仅当 $aq \equiv 1 \pmod{p}$，其中 $a = e_{\sigma}(\mathcal{F})([F])$。
• 分析存在此类欧拉类为零叶状结构的斜率集合 $\mathcal{S}_{X,\mu}$ 的结构。
• 通过证明该集合是可数个处处无处稠密集的并集，从而证明其在 $\mathbb{R} \cup \{1/0\}$ 中是处处无处稠密的。
• 将该准则应用于纤维化流形，特别是结外侧，利用托尔斯顿范数与纤维曲面的亏格 $g$。
• 为整数斜率建立简化条件：当斜率 $m > 0$ 时 $e_{\sigma}(\mathcal{F})([F]) = 1$，当 $m < 0$ 时为 $-1$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，$Χ$-同调实球面的德恩填充核心上与之横截的叶状结构的欧拉类为零？
• RQ2 哪些双曲纤维化3-流形的德恩填充斜率允许存在欧拉类为零的横截叶状结构？
• RQ3 允许存在欧拉类为零的横截叶状结构的斜率集合在所有斜率空间中有多密集？
• RQ4 对于趋近于 $2g-1$ 的斜率序列，是否可通过欧拉类为零的横截叶状结构实现基本群的左序性？
• RQ5 相对欧拉类与模同余在决定欧拉类为零中的作用是什么？

主要发现

• 在 $Χ$-同调实球面的德恩填充核心上，与之横截的叶状结构的欧拉类为零当且仅当 $aq \equiv 1 \pmod{p}$，其中 $a = e_{\sigma}(\mathcal{F})([F])$。
• 对于 $r \geq 3$ 的双阶结 $P(-2,3,2r+1)$，存在一列正斜率 $\alpha_n$ 满足 $\alpha_0 = 2g - 2$ 且 $\alpha_n \to 2g - 1$，使得德恩填充 $X(\alpha_n)$ 的基本群是左序的。
• 允许德恩填充存在横截于核心且欧拉类为零的叶状结构的斜率集合在 $\mathbb{R} \cup \{1/0\}$ 中是处处无处稠密的。
• 对于整数斜率 $m$，当 $m > 0$ 时 $e_{\sigma}(\mathcal{F})([F]) = 1$，当 $m < 0$ 时为 $-1$，则欧拉类为零。
• 结果证实，对于纤维化流形，在 $2g - 1$ 附近存在无穷多个斜率，可通过欧拉类为零的横截叶状结构实现左序性。
• 该构造适用于所有 $Χ$-同调实球面，且此类斜率集合被证明是可数个处处无处稠密集的并集，因此整体上是处处无处稠密的。