[论文解读] Orderability of Homology Spheres Obtained by Dehn Filling

Xinghua Gao|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2018

Geometric and Algebraic Topology参考文献 34被引用 6

一句话总结

本文引入全纯延拓轨迹作为研究通过在有理同调实固体内进行德恩填充所得的有理同调3-球面的基本群左序性的工具。通过分析 $π_1$-表示到 $\mathrm{PSL}_2\mathbb{R}$ 的 $π_1$-万有覆叠，作者构造了具有左序基本群的德恩填充斜率区间，证明当迹域具有实嵌入且纵向曲线的平移数为零时，此类基本群是可序的。

ABSTRACT

In this paper, we develop a method for constructing left-orders on the fundamental groups of rational homology 3-spheres. We begin by constructing the holonomy extension locus of a rational homology solid torus $M$, which encodes the information about peripherally hyperbolic $\widetilde{ ext{PSL}_2\mathbb{R}}$ representations of $π_1(M)$. Plots of the holonomy extension loci of many rational homology solid tori are shown, and the relation to left-orderability is hinted. Using holonomy extension loci, we study rational homology 3-spheres coming from Dehn filling on rational homology solid tori and construct intervals of Dehn fillings with left-orderable fundamental group.

研究动机与目标

• 开发一种方法，以确定通过德恩填充获得的有理同调3-球面的基本群的左序性。
• 将 $π_1$-表示到 $\mathrm{PSL}_2\mathbb{R}$ 的 $π_1$-万有覆叠的应用扩展至标准平移延拓轨迹之外。
• 利用表示空间的几何与代数不变量，表征产生左序基本群的德恩填充斜率。
• 建立充分条件，使得大范围的德恩填充斜率导致可序基本群，特别是当迹域具有实嵌入时。

提出的方法

• 将全纯延拓轨迹定义为：将边界上具有周环椭圆或抛物型的 $π_1$-表示映射到 $\mathrm{PSL}_2\mathbb{R}$ 的 $π_1$-万有覆叠后，在 $H^1(\partial M;\mathbb{R})$ 中的像的闭包。
• 利用平移数不变量追踪群元素在 $\mathbb{R}$ 上的作用，特别是针对子午线与纵向曲线。
• 构造德恩填充斜率 $r$ 的区间，使得 $M(r)$ 存在非平凡的 $π_1$-表示进入 $\mathrm{PSL}_2\mathbb{R}$ 的 $π_1$-万有覆叠，从而蕴含左序性。
• 应用纵向曲线平移数为零的条件，以确保在整个斜率区间内均存在此类表示。
• 利用特征簇与形变理论，证明该轨迹横截地与水平线 $L_{-1/n}$ 相交，从而产生有效的表示。
• 利用以下事实：若 $\mathrm{PSL}_2\mathbb{R}$ 中的忠实表示具有迹域的实嵌入，则可将其提升至万有覆叠，且平移数受控。

实验结果

研究问题

• RQ1 定理5.1中的纵向刚性条件是否可被移除，同时仍能保证德恩填充的左序性？
• RQ2 是否可利用特征簇的性质，将可序德恩填充斜率的区间从 $(-a,0)$ 扩展至 $(-a,b)$，其中 $a,b>0$？
• RQ3 在何种一般条件下，双曲纽结外部的迹域允许实嵌入，从而允许非平凡的 $π_1$-表示进入 $\mathrm{PSL}_2\mathbb{R}$ 的 $π_1$-万有覆叠？
• RQ4 是否存在一种算法，可计算双曲流形中同调纵向曲线的平移数，且定理6.1中的亏格条件是否可被削弱？

主要发现

• 有理同调实固体内全纯延拓轨迹是局部有限个解析弧与孤立点的并集，且在无限二面体群作用下不变。
• 对于双曲 $π_1$-同调实固体 $M$，若 $0$-填充 $M(0)$ 是亏格 $\geq 2$ 的映射环丛，且纵向曲线平移数为零，则对所有充分大的 $n$，$M(1/n)$ 是可序的。
• 当全纯表示的迹域具有实嵌入且纵向曲线平移数为零时，对所有大的 $|n|$，德恩填充 $M(1/n)$ 是可序的。
• 该构造确保对大的 $n$，子午线 $\mu$ 被映射为平移数为纵向曲线平移数的 $-n$ 倍的元素，从而可在万有覆叠上实现 $\mu\lambda^n$ 的平凡全纯性。
• 表示空间 $R_{\widetilde{G}}(M)$ 在 $0$ 附近的一个完整区间内，为德恩填充提供非平凡的 $π_1$-表示进入 $\mathrm{PSL}_2\mathbb{R}$ 的 $π_1$-万有覆叠，从而蕴含左序性。
• 证明了亏格 $\geq 2$ 的映射环丛的忠实 $\mathrm{PSL}_2\mathbb{R}$-表示不能在纤维曲面上限制为离散表示，原因在于基本群无挠且单行变换为有限阶。