[论文解读] Euler Coefficients and Restricted Dyck Paths

Heinrich Niederhausen, Shaun Sullivan|arXiv (Cornell University)|May 21, 2007

Mathematics and Applications参考文献 1被引用 9

一句话总结

本文利用有限算子演算中的欧拉系数，推导出避免 $ r $ 个连续下降步 ($ d^r $) 或上升步 ($ u^r $) 的 Dyck 路径的闭式公式。通过生成函数和精确的组合表达式，研究了在第一象限任意点 $ (n,m) $ 结束的路径计数问题，关键结果表明此类路径的数量由包含欧拉系数的二项式系数的带符号和给出，推广了在受限步长模式下的卡塔兰数类计数方法。

ABSTRACT

We consider the problem of enumerating Dyck paths staying weakly above the x-axis with a limit to the number of consecutive up steps, or a limit to the number of consecutive down steps. We use Finite Operator Calculus to obtain formulas for the number of all such paths reaching a given point in the first quadrant. All our results are based on the Eulerian coefficients.

研究动机与目标

• 枚举避免 $ r $ 个连续 $ \searrow $（下降）或 $ \nearrow $（上升）步的 Dyck 路径，推广经典 Dyck 路径计数方法。
• 为在第一象限任意点 $ (n,m) $ 结束的此类受限 Dyck 路径建立闭式表达式。
• 应用有限算子演算与欧拉系数，推导这些受限路径计数的生成函数与组合恒等式。
• 研究 $ r = 4 $ 的特殊情况，提出一个涉及平方根表达式的生成函数，用于 $ u^4 $-避免路径。

提出的方法

• 本文利用有限算子演算，推导出避免 $ r $ 个连续右移步 ($ \rightarrow^r $) 的记票路径的递推关系，这些路径对应于 $ d^r $-避免的 Dyck 路径。
• 通过展开式 $ (1 + t + \cdots + t^{r-1})^n = \sum_k \binom{n}{k}_r t^k $ 定义欧拉系数 $ \binom{n}{k}_r $，并将其表示为带符号的二项式系数和：$ \binom{n}{k}_r = \sum_{i=0}^{\lfloor k/r \rfloor} (-1)^i \binom{n}{i} \binom{n + k - ri - 1}{k - ri} $。
• 避免 $ d^r $ 步骤至 $ (2n+b, 2m+b) $ 的 Dyck 路径数量为 $ Dyck(2n+b, 2m+b; d^r) = \frac{2m+b+1}{n+m+b+1} \binom{n+m+b+1}{n-m}_r $，其中欧拉系数捕捉了限制条件。
• 对于 $ u^r $-避免路径，本文推导出更复杂的求和表达式：$ D(2m+b,2m+b;u^4) = \sum_{i=0}^{2m+b-1} \frac{1}{n+m+b+1-i} \binom{i-2m-b}{i}_r \binom{n+m+b+1-i}{n+m+b-i}_r $。
• 显示 $ d^r $-避免路径至 $ (n,m) $ 的生成函数为 $ \sum_n s_n(m) t^n = \frac{(1-t^r)^m}{(1-t)^{m+2}} \left( r t^r (1-t) + (1-t^r)(1-2t) \right) $。
• 本文提出一个关于 $ u^4 $-避免路径的闭式生成函数的猜想：$ \sum_n Dyck(4m-n-1,2m-n+1;u^4) t^n = \frac{1}{2} (3 + t - \sqrt{(1+t)^2 + 4t^3}) \left( \frac{1-t^4}{1-t} \right)^m $。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何枚举避免 $ r $ 个连续下降步 ($ d^r $) 并在第一象限一般点 $ (n,m) $ 结束的 Dyck 路径？
• RQ2 避免 $ r $ 个连续右移步 ($ \rightarrow^r $) 的记票路径的生成函数是什么？它与欧拉系数有何关联？
• RQ3 为何 $ r = 4 $ 时 $ u^4 $-避免路径表现出特殊结构？能否推导出闭式生成函数？
• RQ4 欧拉系数在受限格路计数背景下如何推广二项式系数？

主要发现

• 避免 $ d^r $ 步骤至 $ (2n+b, 2m+b) $ 的 Dyck 路径数量为 $ \frac{2m+b+1}{n+m+b+1} \binom{n+m+b+1}{n-m}_r $，其中 $ \binom{n}{k}_r $ 是通过带符号二项式和定义的欧拉系数。
• $ d^r $-避免记票路径至 $ (n,m) $ 的生成函数为 $ \sum_n s_n(m) t^n = \frac{(1-t^r)^m}{(1-t)^{m+2}} \left( r t^r (1-t) + (1-t^r)(1-2t) \right) $，该式推广了卡塔兰数的生成函数。
• 当 $ r = 4 $ 时，本文猜想 $ u^4 $-避免路径的生成函数为 $ \frac{1}{2} (3 + t - \sqrt{(1+t)^2 + 4t^3}) \left( \frac{1-t^4}{1-t} \right)^m $，暗示 $ Dyck(2m,0;u^4) $ 存在新的闭式表达式。
• 欧拉系数 $ \binom{n}{k}_r $ 满足类似于二项式系数的性质，包括类似帕斯卡恒等式、对称性 $ \binom{n}{k}_r = \binom{n}{n(r-1)-k}_r $，以及范德蒙德型卷积。
• 当 $ r \to \infty $ 时，$ \binom{n}{k}_r \to \binom{n+k-1}{k} $，恢复无限制路径的生成函数；且 $ \frac{1}{n+1} \binom{n+1}{n}_r \to C_n $，即第 $ n $ 个卡塔兰数。