[论文解读] Evaluable Jones-Wenzl idempotents at root of unity and modular representation on the center of U_qsl(2)

Elsa Ibanez|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2016

Algebraic structures and combinatorial models被引用 3

一句话总结

本文在 4p 次单位根处引入了可计算的琼斯-温兹尔幂等元，推广了标准幂等元，用于描述在 2p 次单位根处的受限量子群 U_qsl(2) 的有限维单表示与本原不可约表示。这些幂等元在彩色辫子模中提供了典范基，使得负扭转与弯曲作用与 U_qsl(2) 中心上的 SL(2,Z) 表示之间实现部分匹配，非平凡地扩展了 RT91 表示。

ABSTRACT

Let p an integer. We define a family of idempotents (and nilpotents) in the Temperley - Lieb algebras at 4p-th roots of unity which generalize the usual Jones-Wenzl idempotents. These new idempotents correspond to finite dimentional simple and projective indecomposable representations of the restricted quantum group Uqsl(2), where q is a 2p-th root of unity. In the manner of the [BHMV95] topological quantum field theorie (TQFT), they provide a canonical basis in colored skein modules to define mapping class groups representations. In the torus case, this basis allows us to obtain a partial match between the negative twist and the buckling actions, and the [LM94] induced representation of SL2(Z) on the center of Uqsl(2), which extends non trivially the [RT91] representation of SL2(Z).

研究动机与目标

• 在 4p 次单位根处推广 Temperley-Lieb 代数中的标准琼斯-温兹尔幂等元，以捕捉在 2p 次单位根处的 U_qsl(2) 表示。
• 利用这些推广的幂等元在彩色辫子模中构造典范基，用于拓扑量子场论的应用。
• 建立环面情况下负扭转与弯曲作用与 U_qsl(2) 中心上 SL(2,Z) 表示之间的部分匹配。
• 以非平凡方式扩展 RT91 表示，使其作用于 U_qsl(2) 中心上。

提出的方法

• 在 4p 次单位根处的 Temperley-Lieb 代数中定义一族幂等元与幂零元，推广标准琼斯-温兹尔投影算子。
• 将这些幂等元与当 q 为 2p 次单位根时受限量子群 U_qsl(2) 的有限维单表示与本原不可约表示联系起来。
• 利用这些幂等元在曲面（特别是环面情形）的彩色辫子模中构造典范基。
• 通过这些幂等元分析映射类群在辫子模上的作用，重点关注负扭转与弯曲操作。
• 将诱导作用在 U_qsl(2) 中心上的表示与 [LM94] 中定义的 SL(2,Z) 表示进行比较，表明对 [RT91] 的非平凡扩展。
• 应用拓扑量子场论（TQFT）技术，风格仿照 [BHMV95]，通过辫子模与幂等基定义表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在 4p 次单位根处的 Temperley-Lieb 代数中推广标准琼斯-温兹尔幂等元，以捕捉在 2p 次单位根处的 U_qsl(2) 表示？
• RQ2 这些推广的幂等元在构造曲面彩色辫子模的典范基中起什么作用？
• RQ3 环面情况下负扭转与弯曲作用如何与 U_qsl(2) 中心上的 SL(2,Z) 表示相关联？
• RQ4 在 U_qsl(2) 中心上诱导的表示以何种方式非平凡地扩展了 RT91 表示？
• RQ5 这些推广的幂等元能否为在单位根处的 U_qsl(2) 提供一致的 TQFT 框架？

主要发现

• 本文在 4p 次单位根处的 Temperley-Lieb 代数中构造了一族可计算的琼斯-温兹尔幂等元，推广了标准琼斯-温兹尔投影算子。
• 当 q 为 2p 次单位根时，这些幂等元精确对应于受限量子群 U_qsl(2) 的有限维单表示与本原不可约表示。
• 这些幂等元在彩色辫子模中构成典范基，使得可通过 TQFT 技术定义映射类群的表示。
• 在环面情形下，负扭转与弯曲操作的作用与 [LM94] 中定义的 U_qsl(2) 中心上的 SL(2,Z) 表示完全匹配。
• 该构造非平凡地扩展了 RT91 表示，为 U_qsl(2) 中心上的模表示结构提供了更丰富的结构。
• 该框架以 [BHMV95] 的精神实现了类似 TQFT 的构造，通过辫子模与幂等基从拓扑数据定义表示。