[论文解读] Eventual nonsensitivity and tame dynamical systems

Eli Glasner, Michael Megrelishvili|arXiv (Cornell University)|May 11, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 45被引用 18

一句话总结

本文通过最终无敏感性和最终可碎片化引入了可驯动力系统的新表征，证明了符号系统 $X \subset \{0,1\}^\mathbb{Z}$ 是可驯的当且仅当对每个无限集 $L \subseteq \mathbb{Z}$，存在一个无限子集 $K \subseteq L$ 使得 $\pi_K(X)$ 是可数的。主要贡献在于构建了连续函数族的‘小性’性质层级，将其与 Asplund 空间和 Rosenthal 空间上的可表示性联系起来，应用涵盖子移位系统、类似 Sturmian 的序列以及保序系统。

ABSTRACT

In this paper we characterize tame dynamical systems and functions in terms of eventual non-sensitivity and eventual fragmentability. As a notable application we obtain a neat characterization of tame subshifts $X \subset \{0,1\}^{\mathbb Z}$: for every infinite subset $L \subseteq {\mathbb Z}$ there exists an infinite subset $K \subseteq L$ such that $π_{K}(X)$ is a countable subset of $\{0,1\}^K$. The notion of eventual fragmentability is one of the properties we encounter which indicate some "smallness" of a family. We investigate a "smallness hierarchy" for families of continuous functions on compact dynamical systems, and link the existence of a "small" family which separates points of a dynamical system $(G,X)$ to the representability of $X$ on "good" Banach spaces. For example, for metric dynamical systems the property of admitting a separating family which is eventually fragmented is equivalent to being tame. We give some sufficient conditions for coding functions to be tame and, among other applications, show that certain multidimensional analogues of Sturmian sequences are tame. We also show that linearly ordered dynamical systems are tame and discuss examples where some universal dynamical systems associated with certain Polish groups are tame.

研究动机与目标

• 通过最终无敏感性和最终可碎片化的概念，发展可驯动力系统的新型表征。
• 在紧致动力系统上建立连续函数族的‘小性’性质层级。
• 将分离的、最终可碎片化的函数族的存在性与 Rosenthal Banach 空间上的可表示性联系起来。
• 为 $\{0,1\}^\mathbb{Z}$ 中的可驯子移位系统提供组合表征，证明其在无限子集上的投影是可数的。
• 将理论扩展至保序系统以及与波兰群相关的普遍系统，证明其可驯性。

提出的方法

• 引入最终可碎片化作为可碎片化的改进，以捕捉函数族中的‘小性’。
• 利用映射 $F \times X \to \mathbb{R}$，将有界 $S$-不变函数族 $F \subset C(X)$ 与 Banach 空间 $V \times V^*$ 上的典范双线性映射联系起来。
• 应用 Rosenthal 的 $\ell_1$-序列表征，通过集合的独立族证明 $\beta\mathbb{N}$ 不能嵌入到任何 Rosenthal 空间对偶中。
• 使用抽屉原理和无限 Ramsey 型论证，从不可数集合族中提取独立子族。
• 利用符号系统的结构，将可驯性简化为 $\mathbb{Z}$ 的无限子集上投影的组合性质。
• 借助包络半群理论以及 WAP/Asplund/Rosenthal 可表示性，根据函数族的复杂度对动力系统进行分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 何时紧致动力系统 $X$ 可在 Rosenthal Banach 空间上表示，这与其分离函数族的结构有何关联？
• RQ2 子移位系统 $X \subset \{0,1\}^\mathbb{Z}$ 的何种组合条件可确保其为可驯的？
• RQ3 函数族的最终可碎片化如何与 $\ell_1$-序列的缺失及 Asplund 空间上的可表示性相关联？
• RQ4 线性有序动力系统在何种条件下是可驯的，这与其包络半群的结构有何关系？
• RQ5 波兰群 $G$ 的普遍极小系统 $M(G)$ 或普遍仿射系统 $IA(G)$ 是否可驯，这种情形在何时发生？

主要发现

• 符号系统 $X \subset \{0,1\}^\mathbb{Z}$ 是可驯的当且仅当对每个无限 $L \subseteq \mathbb{Z}$，存在无限子集 $K \subseteq L$ 使得 $\pi_K(X)$ 是可数的。
• 有界 $S$-不变函数族 $F \subset C(X)$ 是最终可碎片化的，当且仅当其对应的动力系统是 Rosenthal 可表示的。
• 存在分离的、最终可碎片化函数族 $F$ 的事实，表征了可驯的度量动力系统。
• $(H_+(\mathbb{T}), \mathbb{T})$ 的保向圆周同胚系统是可驯的，其普遍极小系统 $M(H_+(\mathbb{T}))$ 也是可驯的。
• Stone-Čech 乘积 $\beta\mathbb{N}$ 不能 $w^*$-嵌入到任何 Rosenthal Banach 空间对偶中，这意味着并非所有紧致空间都是 Rosenthal-可表示的。
• 通过编码函数的充分条件，证明了 Sturmian 序列的多维类比是可驯的。