[论文解读] Every super-polynomial proof in purely implicational minimal logic has a polynomially sized proof in classical implicational propositional logic

Edward Hermann Hæusler|arXiv (Cornell University)|May 25, 2015

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文证明，在纯条件命题的极小逻辑中，任何超多项式大小的证明都可以被转换为经典条件命题逻辑中的多项式大小证明。其关键贡献在于，这种转换意味着所有经典重言式都存在短证明，从而支持 NP = CoNP 的猜想。

ABSTRACT

In this article we show how any formula A with a proof in minimal implicational logic that is super-polynomially sized has a polynomially-sized proof in classical implicational propositional logic . This fact provides an argument in favor that any classical propositional tautology has short proofs, i.e., NP=CoNP.

研究动机与目标

• 研究极小逻辑与经典条件逻辑之间的证明复杂性差距。
• 确定极小逻辑中的超多项式证明是否可以被压缩为经典逻辑中的多项式大小证明。
• 提供证据表明所有经典重言式可能都存在短证明，从而暗示 NP = CoNP。

提出的方法

• 分析纯条件极小逻辑中证明的结构。
• 识别将极小逻辑证明转换为等价经典逻辑证明的句法变换。
• 应用证明论技术，将从超多项式到多项式的大小增长进行有界控制。
• 利用经典逻辑的完备性，确保转换后的证明保持等价性。
• 隐式利用 Curry-Howard 同构，将证明解释为类型lambda演算中的项。
• 证明该转换在大幅减少证明大小的同时，保持了逻辑有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否每一个在纯条件极小逻辑中具有超多项式大小的证明，都可以被转换为经典条件命题逻辑中的多项式大小证明？
• RQ2 极小逻辑证明的何种结构性特征使得其在经典逻辑中能够实现这种大小压缩？
• RQ3 该转换是否为所有经典重言式存在短证明提供了证据？
• RQ4 该结果在多大程度上支持 NP = CoNP 的猜想？
• RQ5 极小逻辑中是否存在固有的限制，阻止此类压缩，或者这种压缩是否总是可行？

主要发现

• 在纯条件极小逻辑中具有超多项式大小证明的任意公式，均能在经典条件命题逻辑中获得多项式大小证明。
• 从极小逻辑到经典逻辑的证明转换不会损害逻辑有效性。
• 大小的压缩程度足以表明所有经典重言式可能都存在短证明。
• 该结果为 NP = CoNP 的猜想提供了间接支持。
• 该证明方法依赖于句法重写与经典推理，以压缩证明长度。
• 该结果意味着，对于条件公式，极小逻辑与经典逻辑之间的证明复杂性差距，其上界为多项式因子。