[论文解读] Evolution of generalized couple-stress continuum theories: a critical analysis

Ali R. Hadjesfandiari, Gary F. Dargush|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2014

Nonlocal and gradient elasticity in micro/nano structures参考文献 33被引用 25

一句话总结

本文批判性地分析了广义力偶应力连续介质理论，认为一致的尺寸依赖性力学必须以位移场和宏观自转场作为基本自由度，拒绝人为引入的微旋转。文章证明了偏量曲率张量会导致力偶应力张量球对称部分的不确定性，并确立了表面力偶面力的法向分量必须为零，从而在一致的数学与力学框架下统一并完善了力偶应力、应变梯度和微极理论。

ABSTRACT

In this paper, we examine different generalized couple-stress continuum mechanics theories, including couple stress, strain gradient and micropolar theories. First, we investigate the fundamental requirements in any consistent size-dependent couple stress continuum mechanics, for which satisfying basic rules of mathematics and mechanics are crucial to establish a consistent theory. As a result, we show that continuum couple stress theory must be based on the displacement field and its corresponding macrorotation field as degrees of freedom, while an extraneous artificial microrotation cannot be a true continuum mechanical concept. Furthermore, the idea of generalized force and independent generalized degrees of freedom show that the normal component of the surface moment traction vector must vanish. Then, with these requirements in mind, various existing couple stress theories are examined critically, and we find that certain deviatoric curvature tensors create indeterminacy in the spherical part of the couple stress tensor. We also examine micropolar and micromorphic theories from this same perspective.

研究动机与目标

• 确立尺寸依赖性连续介质力学理论的基本一致性要求。
• 解决力偶应力、应变梯度和微极理论中长期存在的模糊性问题。
• 证明人为微旋转与连续介质力学原理不相容。
• 表明在一致理论中，表面力偶面力的法向分量必须为零。
• 在统一的数学与物理原理下，统一并批判性评估广义力偶应力理论。

提出的方法

• 基于数学与力学公理（包括张量对称性与守恒定律）推导基本一致性条件。
• 分析位移与宏观自转场作为主要自由度的作用，拒绝额外引入的微旋转。
• 应用广义力与广义自由度概念，推导表面牵引力的约束条件。
• 研究曲率张量结构，特别是其偏量部分，以识别力偶应力张量不确定性的来源。
• 根据推导出的一致性标准，比较与对比力偶应力、应变梯度、微极与微结构理论。
• 运用张量代数与变分原理，形式化控制方程与边界条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 一致的尺寸依赖性连续介质理论所必需的基本数学与力学要求是什么？
• RQ2 为何人为微旋转与连续介质力学原理不相容？
• RQ3 曲率张量的选择（如偏量与完整形式）如何影响力偶应力张量的确定性？
• RQ4 在一致的力偶应力理论中，表面力偶面力必须满足何种约束？
• RQ5 在相同的一致性标准下，微极理论与微结构理论与广义力偶应力理论相比如何？

主要发现

• 在任何一致的力偶应力理论中，位移场与宏观自转场必须作为基本自由度。
• 人为微旋转不能作为真正的连续介质力学概念，必须从一致的公式中排除。
• 在一致理论中，表面力偶面力向量的法向分量必须为零。
• 偏量曲率张量会在力偶应力张量的球对称部分引入不确定性，从而使某些公式无效。
• 在一致的数学与物理原理下，广义力偶应力理论与应变梯度、微极理论实现了统一。
• 通过建立明确的有效性标准，该分析解决了现有广义力偶应力理论中长期存在的不一致性问题。