[论文解读] Foundations of consistent couple stress theory

Ali R. Hadjesfandiari, Gary F. Dargush|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2015

Nonlocal and gradient elasticity in micro/nano structures参考文献 9被引用 18

一句话总结

本文建立了连续介质力学中一致的反对称耦合应力理论的理论基础，证明了其内在一致性、简洁性以及与经典力学的一致性。研究表明，形变自然地由物质微元之间的相对平动和转动描述，以连续的位移场和转动场作为基本变量，从而解决了关于耦合应力张量反对称性质长期存在的模糊性问题。

ABSTRACT

In this paper, we examine the recently developed skew-symmetric couple stress theory and demonstrate its inner consistency, natural simplicity and fundamental connection to classical mechanics. This hopefully will help the scientific community to overcome any ambiguity and skepticism about this theory, especially the validity of the skew-symmetric character of the couple-stress tensor. We demonstrate that in a consistent continuum mechanics, the response of infinitesimal elements of matter at each point decomposes naturally into a rigid body portion, plus the relative translation and rotation of these elements at adjacent points of the continuum. This relative translation and rotation captures the deformation in terms of stretches and curvatures, respectively. As a result, the continuous displacement field and its corresponding rotation field are the primary variables, which remarkably is in complete alignment with rigid body mechanics, thus providing a unifying basis. For further clarification, we also examine the deviatoric symmetric couple stress theory that, in turn, provides more insight on the fundamental aspects of consistent continuum mechanics.

研究动机与目标

• 解决微极弹性中关于耦合应力张量反对称性质长期存在的模糊性与怀疑。
• 基于经典力学原理，建立一个一致且基本的耦合应力理论框架。
• 证明物质微元之间的相对平动与转动可自然地描述形变，其本质为伸长与曲率。
• 通过将位移场与转动场作为基本变量，统一形变描述与刚体运动学。
• 通过与偏量对称耦合应力理论的对比，澄清一致连续介质力学的物理与数学基础。

提出的方法

• 从连续介质力学的基本原理出发推导一致的耦合应力理论，强调动量与角动量的平衡。
• 引入无穷小物质微元之间的相对运动概念，以伸长与曲率描述形变。
• 证明反对称耦合应力张量自然地源于相对转动与平动的运动学。
• 采用变分法推导控制方程，确保与能量与动量原理的一致性。
• 将反对称理论与偏量对称耦合应力理论进行对比，突出其根本差异与优势。
• 通过与经典力学的一致性检验验证该理论，表明其无矛盾或非物理行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何反对称耦合应力张量在连续介质力学框架内被认为是物理上一致的？
• RQ2 相邻点处物质微元之间的相对运动如何自然地描述形变？
• RQ3 所提出的耦合应力理论与经典刚体力学之间存在何种根本联系？
• RQ4 反对称理论与偏量对称耦合应力表述有何不同？其改进之处为何？
• RQ5 连续的位移场与转动场能否作为一致连续介质力学框架中的基本变量？

主要发现

• 反对称耦合应力张量与连续介质力学的平衡定律天然一致，无需人为假设。
• 形变自然分解为刚体运动、相对平动与相对转动，后两者分别描述伸长与曲率。
• 连续的位移场与转动场作为基本运动学变量出现，使理论与经典力学保持一致。
• 该理论避免了非物理行为，并保持与能量与动量守恒定律的一致性。
• 与偏量对称耦合应力理论的对比表明，反对称表述提供了更物理合理且数学更自洽的描述。
• 该框架通过一致处理微旋转与微形变，为微极与经典连续介质力学提供了统一基础。