[论文解读] Evolution of quasi-characteristic functions in quantum stochastic systems with Weyl quantization of energy operators

Igor G. Vladimirov|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2015

Quantum Mechanics and Applications参考文献 63被引用 3

一句话总结

本文提出了一种基于Weyl量子化的方法，用于建模由马尔可夫性Hudson-Parthasarathy量子随机微分方程（QSDEs）驱动的开放量子随机系统中准特征函数（QCFs）的演化。该方法推导出一个关于QCF的积分微分方程（IDE），该方程推广了Wigner-Moyal相空间形式化方法，从而能够分析非高斯动力学及通过χ²散度识别的不变态，特别适用于线性耦合与非二次哈密顿量的系统。

ABSTRACT

This paper considers open quantum systems whose dynamic variables satisfy canonical commutation relations and are governed by Markovian Hudson-Parthasarathy quantum stochastic differential equations driven by external bosonic fields. The dependence of the Hamiltonian and the system-field coupling operators on the system variables is represented using the Weyl functional calculus. This leads to an integro-differential equation (IDE) for the evolution of the quasi-characteristic function (QCF) which encodes the dynamics of mixed moments of the system variables. Unlike quantum master equations for reduced density operators, this IDE involves only complex-valued functions on finite-dimensional Euclidean spaces and extends the Wigner-Moyal phase-space approach for quantum stochastic systems. The dynamics of the QCF and the related Wigner quasi-probability density function (QPDF) are discussed in more detail for the case when the coupling operators depend linearly on the system variables and the Hamiltonian has a nonquadratic part represented in the Weyl quantization form. For this class of quantum stochastic systems, we also consider an approximate computation of invariant states and discuss the deviation from Gaussian quantum states in terms of the $χ^2$-divergence (or the second-order Renyi relative entropy) applied to the QPDF. The results of the paper may find applications to investigating different aspects of the moment stability, relaxation dynamics and invariant states in open quantum systems.

研究动机与目标

• 将Wigner-Moyal相空间方法扩展至具有非平凡系统-场耦合的马尔可夫性QSDEs所描述的开放量子系统。
• 推导出一个关于准特征函数（QCF）的线性积分微分方程（IDE），该方程编码了系统变量的所有混合矩。
• 分析具有线性耦合与非二次哈密顿量的系统中，准概率密度函数（QPDF）的动力学，捕捉非高斯特征。
• 提供一种近似计算不变态的框架，并利用QPDF的χ²散度量化与高斯性的偏离程度。
• 建立QCF演化与相空间表示下经典Fokker-Planck-Kolmogorov方程之间的联系，其中非二次哈密顿量引入Moyal修正项。

提出的方法

• 利用Weyl函数演算将哈密顿量与系统-场耦合算符表示为Weyl量子化形式，确保非对易算符的对称排序。
• 通过在Hudson-Parthasarathy形式化中对QSDEs应用Weyl变换，推导出准特征函数（QCF）演化的线性积分微分方程（IDE）。
• 将QCF演化转化为相关IDE下的准概率密度函数（QPDF）演化，该方程在谐振系统下退化为经典Fokker-Planck方程，并在非二次哈密顿量下包含Moyal项。
• 应用QPDF与高斯参考态之间的χ²散度（二阶Rényi相对熵）来量化非高斯性，并评估收敛至不变态的性能。
• 通过χ²散度的总时间导数推导出耗散关系，将收敛速率与系统的动力学及耦合结构联系起来。
• 基于QPDF的光滑性分析，推导出耗散关系中内积项的非平凡界，克服了标准Cauchy-Schwarz估计在核无界增长情况下的失效问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用Weyl量子化在具有非二次哈密顿量与线性系统-场耦合的开放量子系统中演化准特征函数（QCF）？
• RQ2 控制此类系统中QCF演化的积分微分方程（IDE）的结构是什么？其如何推广经典Fokker-Planck-Kolmogorov方程？
• RQ3 非二次哈密顿量项的引入如何影响QPDF的动力学？Moyal项在诱导非高斯特征中起什么作用？
• RQ4 χ²散度能否用于量化QPDF与高斯参考态之间的偏离程度？其时间导数揭示了何种弛豫动力学信息？
• RQ5 在该类开放量子系统中，不变态的存在性与稳定性需满足何种条件？如何利用QPDF框架对其进行近似？

主要发现

• 推导出一个显式的线性积分微分方程（IDE），用于描述具有规范对易关系的开放量子系统中准特征函数（QCF）的演化，该方程完整编码了系统变量的矩动力学。
• QPDF的动力学由一个IDE控制，该方程在开放量子谐振子中退化为经典Fokker-Planck-Kolmogorov方程，并在非二次哈密顿量下包含Moyal项，导致非高斯动力学及QPDF取负值。
• QPDF与高斯参考态之间χ²散度的总时间导数可表示为一个正定项（涉及耦合矩阵）与一个负的积分项之和，表明存在耗散潜力并可能收敛至不变态。
• χ²散度提供了一种非高斯性的定量度量，其演化由系统耦合引起的驱动项与QPDF结构引起的阻尼项之间的平衡所主导。
• 通过QPDF的光滑性分析，推导出耗散关系中内积项的非平凡界，克服了因核无界增长而致标准Cauchy-Schwarz估计失效的问题。
• 该框架使得在存在高斯形势阱的情况下，能够近似计算不变QPDF，并为开放量子系统中的弛豫动力学与稳定性分析提供了相空间表示。