[论文解读] Exact asymptotics for the instant of crossing a curve boundary by an asymptotically stable random walk

Denis Denisov, Vitali Wachtel|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2014

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 7被引用 4

一句话总结

该论文为重尾概率 P(T_g > n) 建立了精确渐近表达式，其中 T_g 是一个渐近稳定随机游走首次通过时间依赖曲线边界 −g(n) 的首达时。论文提出了一种新的积分条件，涉及更新函数 h 与缩放函数 c(n)，表明在比以往结果更弱的条件下，P(T_g > n) ∼ V(g)P(T_0 > n) 成立，且当 ∫ h(g(x))/(x h(c(x))) dx < ∞ 时，V(g) 为有限值。

ABSTRACT

Suppose that $\{S_n,\ n\geq0\}$ is an asymptotically stable random walk. Let $g$ be a positive function and $T_g$ be the first time when $S_n$ leaves $[-g(n),\infty)$. In this paper we study asymptotic behaviour of $T_g$. We provide integral tests for function $g$ that guarantee $P(T_g&gt;n)\sim V(g)P(T_0&gt;n)$ where $T_0$ is the first strict descending ladder epoch of $\{S_n\}$

研究动机与目标

• 细化随机游走穿越时变边界时一级通过时间的现有渐近结果，特别是当边界随时间增长时。
• 弱化早期工作中获得 P(T_g > n) 与 P(T_0 > n) 精确渐近等价性所需的矩条件（例如 E[g(T_0)] < ∞）。
• 建立一个新的积分检验条件，以确保渐近稳定随机游走满足 P(T_g > n) ∼ V(g)P(T_0 > n)。
• 通过将 g 的凹性与矩假设替换为 h(g(x)) 的次可加性与可积性条件，推广 Greenwood 与 Novikov 的先前结果。

提出的方法

• 引入一类渐近稳定随机游走 S_n，其缩放极限为特征指数 α ∈ (0,2) 且偏度为 β 的稳定分布。
• 利用与严格下降 ladder 高度过程相关的更新函数 h(x)，刻画 P(T_0 > n) ∼ n^{ρ−1}L(n) 的渐近行为。
• 证明若 E[h(g(T_0))] < ∞ 且 h(g(x)) 次可加，则 P(T_g > n) ∼ V(g)P(T_0 > n) 成立，其中 V(g) 为依赖于 g 的有限常数。
• 推导出充分的积分条件 ∫₁^∞ h(g(x))/(x h(c(x))) dx < ∞，以保证渐近等价性，其中 c(x) 为随机游走的缩放函数。
• 对上鞅 h(S_n − g(n))1{T_g > n} 应用可选停时定理，以控制尾部行为并推导界。
• 使用耦合及类似耦合的方法，结合停时 ν_n ≈ δ_n n，以局部化游走行为并应用局部极限定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 渐近稳定随机游走穿越增长边界 −g(n) 的首达时 T_g 在何种条件下满足 P(T_g > n) ∼ V(g)P(T_0 > n)，其中 V(g) 为有限值？
• RQ2 能否用更弱的条件替代早期结果中 E[g(T_0)] < ∞ 的可积性条件，同时仍保证相同的渐近等价性？
• RQ3 h(g(x)) 的次可加性在确保首达时间分布渐近等价性中起何种精确作用？
• RQ4 当 g(n) 的增长速度超过 n^{1/α} 时，g(n) 的增长速率如何影响 P(T_g > n) 的渐近行为？
• RQ5 确保渐近稳定随机游走满足 P(T_g > n) ∼ V(g)P(T_0 > n) 的精确积分条件是什么？

主要发现

• 论文证明：若 E[h(g(T_0))] < ∞ 且 h(g(x)) 次可加，则 P(T_g > n) ∼ V(g)P(T_0 > n) 成立，且 V(g) ∈ (0, ∞)，从而推广了早期结果。
• 条件 ∫₁^∞ h(g(x))/(x h(c(x))) dx < ∞ 是渐近等价性的充分条件，且当 h 为指数为 −α(1−ρ) 的正常变函数时，该条件严格弱于 E[g(T_0)] < ∞。
• 当 g(x) = x^γ 且 γ < min{1, 1/α} 时，渐近等价性成立，扩展了对次线性边界的已知结果。
• 当 g(x) ∼ c(x)（即随机游走的缩放函数）时，条件 ∫ h(g(x))/(x h(c(x))) dx < ∞ 是渐近等价性的必要且充分条件。
• 即使当 g(x) 的增长速度超过任意幂函数 x^γ（其中 γ < 1/α）时，只要满足积分条件，结论依然成立。
• 证明过程利用了与停时 ν_n ≈ δ_n n 的耦合方法，以及对上鞅 h(S_n − g(n))1{T_g > n} 应用可选停时定理，从而导出尾部概率的精确界。