[论文解读] Exact Computation of Minimum Sample Size for Estimation of Binomial Parameters

Xinjia Chen|ArXiv.org|Jul 14, 2007

Bayesian Modeling and Causal Inference参考文献 4被引用 12

一句话总结

本文提出了一种精确计算二项比例估计所需最小样本量的方法，可在指定误差范围和置信水平下实现，克服了长期存在的计算障碍。通过证明最小覆盖概率在参数值的有限离散集合上达到极小值，并结合递归边界技术，该方法消除了近似误差，并相较于经典方法减少了保守性。

ABSTRACT

It is a common contention that it is an ``impossible mission'' to exactly determine the minimum sample size for the estimation of a binomial parameter with prescribed margin of error and confidence level. In this paper, we investigate such a very old but also extremely important problem and demonstrate that the difficulty for obtaining the exact solution is not insurmountable. Unlike the classical approximate sample size method based on the central limit theorem, we develop a new approach for computing the minimum sample size that does not require any approximation. Moreover, our approach overcomes the conservatism of existing rigorous sample size methods derived from Bernoulli's theorem or Chernoff bounds. Our computational machinery consists of two essential ingredients. First, we prove that the minimum of coverage probability with respect to a binomial parameter bounded in an interval is attained at a discrete set of finite many values of the binomial parameter. This allows for reducing infinite many evaluations of coverage probability to finite many evaluations. Second, a recursive bounding technique is developed to further improve the efficiency of computation.

研究动机与目标

• 解决长期以来认为二项参数估计的最小样本量精确计算不可能实现的信念。
• 开发一种严格的方法，避免基于中心极限定理方法中固有的近似。
• 减少基于切尔诺夫或伯努利定理推导出的现有界限的保守性。
• 识别出最小覆盖概率达到的有限可计算参数值集合。
• 在绝对误差、相对误差和混合误差标准下，实现精确且非保守的样本量确定。

提出的方法

• 证明在二项参数区间上，最小覆盖概率在有限离散值集合上达到，从而将无限评估减少为有限次检查。
• 将覆盖概率定义为以估计比例为中心的置信区间内的累积二项概率。
• 使用递归边界技术，高效计算并比较关键点处的覆盖概率，而无需穷举搜索。
• 将关键点表征为形式为 $\ell/(n(1\pm\varepsilon))$ 的有理数以及端点 $a$、$b$，确保搜索空间有限。
• 应用左极限和右极限，处理置信区间边界作为 $p$ 的函数时的不连续性。
• 构建一个基数有界的离散集合 $\{a,b\} \cup \{\ell/(n(1-\varepsilon))\} \cup \{\ell/(n(1+\varepsilon))\}$，其基数不超过 $2n(b-a)+4$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在固定误差范围和置信水平下，能否精确计算二项比例估计的最小样本量？
• RQ2 是否可以完全消除基于中心极限定理的经典样本量公式中的近似误差？
• RQ3 在参数区间上，最小覆盖概率是否出现在有限且可计算的点集上？
• RQ4 递归边界技术能否显著提升精确样本量确定中的计算效率？
• RQ5 与切尔诺夫或伯努利定理推导出的现有严格界限相比，所提方法在保守性方面表现如何？

主要发现

• 在 $p \in [a,b]$ 上，最小覆盖概率在有限离散点集上达到，使得精确计算成为可能。
• 需评估的关键点数量被限制在 $2n(b-a)+4$ 以内，从而实现高效计算。
• 该方法避免了中心极限定理的近似误差，也减少了切尔诺夫或伯努利方法界限的保守性。
• 覆盖概率函数在区间边界穿过整数阈值的点处为左连续，从而支持基于极限的评估。
• 对于任意 $n$，通过仅评估 $p$ 的有限多个值，即可精确计算最小覆盖概率。
• 该方法可扩展至绝对误差、相对误差和混合误差标准，提供统一的框架。