[论文解读] Exact distance graphs of product graphs

Bre\v{s}ar, Bo\v{s}tjan, Nicolas Gastineau+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2018

Advanced Graph Theory Research参考文献 22被引用 8

一句话总结

本文为四种标准图积——笛卡尔积、强积、字典积和直接积——的精确距离-p图建立了精确公式，提供了一套系统框架以分析其连通性与染色性质。研究推导出超立方体Qₙ在p = n−2、n−3、n−4时精确距离-p图的染色数的紧致上界，表明χ(Q[♮n−2]ₙ) ≤ 8，χ(Q[♮n−3]ₙ) ≤ 15，χ(Q[♮n−4]ₙ) ≤ 26。

ABSTRACT

Given a graph $G$, the exact distance-$p$ graph $G^{[ atural p]}$ has $V(G)$ as its vertex set, and two vertices are adjacent whenever the distance between them in $G$ equals $p$. We present formulas describing the structure of exact distance-$p$ graphs of the Cartesian, the strong, and the lexicographic product. We prove such formulas for the exact distance-$2$ graphs of direct products of graphs. We also consider infinite grids and some other product structures. We characterize the products of graphs of which exact distance graphs are connected. The exact distance-$p$ graphs of hypercubes $Q_n$ are also studied. As these graphs contain generalized Johnson graphs as induced subgraphs, we use some known and find some new constructions of their colorings. These constructions are applied for colorings of the exact distance-$p$ graphs of hypercubes with the focus on the chromatic number of $Q_{n}^{[ atural p]}$ for $p\in \{n-2,n-3,n-4\}$.

研究动机与目标

• 推导四种标准图积——笛卡尔积、强积、字典积和直接积——的精确距离-p图的精确结构公式。
• 刻画这些图积的精确距离-p图连通的条件。
• 分析超立方体Qₙ的精确距离-p图的染色数，特别是当p = n−2、n−3、n−4时的情形。
• 利用广义约翰逊图与克内泽图作为诱导子图，建立Q[♮p]ₙ染色数的紧致上界。
• 通过积图理论统一并拓展关于立方体类图与精确距离图的已知结果。

提出的方法

• 利用顶点集V(G) × V(H)与原图中距离决定的邻接规则，推导图积的精确距离-p图的显式结构公式。
• 将广义约翰逊图J(n,k,t)作为超立方体精确距离-p图中的诱导子图加以应用。
• 利用已知与新构造的广义约翰逊图与克内泽图的着色方法，以界定染色数。
• 在超立方体中应用对称性与距离分划（按汉明权重）将顶点划分为层L_i，并分析层间邻接关系。
• 通过在对称层（如L_i与L_{n−i}）之间复用颜色，以最小化总染色数。
• 结合图积理论与谱论及组合技术，推导χ(Q[♮p]ₙ)的上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 两个图的笛卡尔积、强积、字典积与直接积的精确距离-p图的精确结构是什么？
• RQ2 对于哪些图积与p值，精确距离-p图是连通的？
• RQ3 当p接近n时，如何界定超立方体Qₙ的精确距离-p图的染色数？
• RQ4 广义约翰逊图在超立方体精确距离-p图中作为诱导子图起到什么作用？
• RQ5 广义约翰逊图的着色能否被推广或调整，以界定超立方体精确距离图的染色数？

主要发现

• 若两图均无三角形，则其直接积的精确距离-2图满足(G × H)[♮2] = G[♮2] ⊠ H[♮2]。
• 当n为偶数且n ≥ 4时，Q[♮n−2]ₙ的染色数至多为8，且χ(Q[♮6]₈) ≤ 7。
• 当n为奇数且n ≥ 5时，Q[♮n−3]ₙ的染色数至多为15。
• 当n为偶数且n ≥ 6时，Q[♮n−4]ₙ的染色数至多为26，该结果由2χ(J(n,(n−4)/2,0)) + χ(J(n,n/2,2))与2χ(J(n,(n−2)/2,1)) + 2推导得出。
• 超立方体的精确距离-(n−1)图满足Q[♮n−1]ₙ ≅ Qₙ，确认了其结构对称性。
• 广义约翰逊图J(n,k,t)的染色数被用作界定Q[♮p]ₙ染色数的关键组成部分。