[论文解读] Exact groupoids

Claire Anantharaman-Delaroche|arXiv (Cornell University)|May 17, 2016

Advanced Operator Algebra Research参考文献 57被引用 6

一句话总结

本文引入并研究了局部紧群胚的精确性，针对内拟均群胚（inner amenable 'etale groupoids）建立了六种精确性概念之间的等价性——例如，无穷远处的可均性、一致代数的核性，以及约化 C*-代数的精确性——特别地，这些等价性在内拟均 'etale 群胚中成立。主要贡献在于将已知的离散群结果推广至更广泛的类群胚，包括变换群胚，并证明在内拟均性假设下，这六种定义是等价的。

ABSTRACT

Our purpose is to introduce in the setting of locally compact groupoids the analogues of the well known equivalent definitions of exactness for discrete groups. We study the relations between these notions. The best results are obtained for a class of \'etale groupoids that we call inner amenable, since for locally compact groups this notion coincides with the notion of inner amenability. We give examples of such groupoids which include transformation groupoids associated to actions of discrete groups by homeomorphisms on locally compact spaces. We have no example of \'etale groupoids which are not inner amenable. For inner amenable \'etale groupoids we extend what is known for discrete groups in proving the equivalence of six natural notions of exactness: (1) strong amenability at infinity; (2) amenability at infinity; (3) nuclearity of the uniform (Roe) algebra of the groupoid; (4) exactness of this $C^*$-algebra; (5) exactness of the reduced $C^*$-algebra; (6) exactness of the groupoid in the sense of Kirchberg-Wassermann. We give several illustrations of our results and review the results obtained by several authors that highlight the crucial role of exactness in order to clarify the relation between the amenability of a groupoid and the fact that its full and reduced $C^*$-algebras coincide. We end our paper with open questions and an appendix on fibrewise compactifications because our work requires to extend from discrete groups to \'etale groupoids the notion of Stone-Cech compactification on which the groupoid acts.

研究动机与目标

• 将精确性的概念从离散群推广至局部紧群胚的框架。
• 识别并研究一类称为内拟均群胚的 'etale 群胚，其推广了内拟均离散群。
• 建立内拟均 'etale 群胚的六种自然精确性概念之间的等价性。
• 阐明群胚的可均性与其全 C*-代数和约化 C*-代数重合之间的关系。
• 为纤维化紧化提供一个框架，将 Stone-Cech 紧化推广至群胚作用。

提出的方法

• 引入 'etale 群胚的内拟均性概念，表明其推广了局部紧群的经典概念。
• 定义并分析六种精确性候选概念：无穷远处的强可均性、无穷远处的可均性、一致（Roe）代数的核性、一致 C*-代数的精确性、约化 C*-代数的精确性，以及 Kirchberg-Wassermann 意义下的精确性。
• 使用纤维化紧化，特别是 Stone-Cech 紧化的推广，将离散群的技术扩展至 'etale 群胚。
• 在内拟均性假设下，建立六种精确性概念之间的蕴含关系，证明其等价性。
• 将结果应用于由离散群在局部紧空间上的作用所生成的变换群胚。
• 使用 C*-代数技术，包括核性与精确性性质，分析群胚 C*-代数的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些离散群精确性概念的类比能自然地推广至局部紧群胚？
• RQ2 'etale 群胚的内拟均性如何与局部紧群中的经典内拟均性相关？
• RQ3 对于内拟均 'etale 群胚，六种精确性概念——无穷远处的可均性、核性、C*-代数的精确性——是否等价？
• RQ4 精确性在决定群胚的全 C*-代数与约化 C*-代数是否重合方面起什么作用？
• RQ5 如何将 Stone-Cech 紧化推广至纤维空间上的群胚作用，以支持精确性分析？

主要发现

• 对于内拟均 'etale 群胚，六种精确性概念等价：无穷远处的强可均性、无穷远处的可均性、一致代数的核性、一致 C*-代数的精确性、约化 C*-代数的精确性，以及 Kirchberg-Wassermann 意义下的精确性。
• 内拟均 'etale 群胚的类包括由离散群在局部紧空间上通过同胚作用所生成的变换群胚。
• 目前尚无已知的非内拟均 'etale 群胚的例子，表明该类可能很广泛。
• 精确性在决定群胚的全 C*-代数与约化 C*-代数是否重合方面起着关键作用。
• 本文提供了 Stone-Cech 紧化的纤维化推广，这对将离散群技术推广至 'etale 群胚至关重要。
• 结果将已知的离散群定理推广至更广泛的群胚类，统一并强化了现有的 C*-代数框架。