[论文解读] Exact Lagrangian submanifolds, Lagrangian spectral invariants and Aubry-Mather theory

Lino Amorim, Yong‐Geun Oh+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 41被引用 6

一句话总结

本文利用拉格朗日子流形的谱不变量与弗洛尔同调，为紧致精确拉格朗日子流形在闭合可定向流形的余切丛中的图选择子构造提供了理论基础。引入了Lipschitz-精确拉格朗日子流形的概念，并证明了其广义图选择子的存在性，从而实现了对Aubry–Mather集的新表征，并将关于在Tonelli哈密顿流下不变的拉格朗日子流形的结果进行了推广。

ABSTRACT

We construct graph selectors for compact exact Lagrangians in the cotangent bundle of an orientable, closed manifold. The construction combines Lagrangian spectral invariants developed by Oh and results by Abouzaid about the Fukaya category of a cotangent bundle. We also introduce the notion of Lipschitz-exact Lagrangians and prove that these admit an appropriate generalization of graph selector. We then, following Bernard-Oliveira dos Santos, use these results to give a new characterization of the Aubry and Mane sets of a Tonelli Hamiltonian and to generalize a result of Arnaud on Lagrangians invariant under the flow of such Hamiltonians.

研究动机与目标

• 将图选择子的构造从与零截面哈密顿同伦的拉格朗日子流形推广至更广范围，采用弗洛尔理论方法。
• 定义并研究Lipschitz-精确拉格朗日子流形作为C0辛拓扑中自然的一类对象。
• 将上述构造应用于表征Tonelli哈密顿系统的Aubry集与Mañé集。
• 利用谱不变量推广Arnaud关于在Tonelli流下不变的拉格朗日子流形的结果。
• 建立图选择子的Lipschitz连续性及其在哈密顿扰动下的稳定性。

提出的方法

• 利用精确拉格朗日子流形与余切纤维的弗洛尔同调中的拉格朗日本质谱不变量，借助Abouzaid的结果HF(L, T*qM) ≅ Z。
• 应用加权弗洛尔同调及弗洛尔复形上的滤子结构，定义基本相位函数，该函数即为图选择子。
• 引入Lipschitz-精确拉格朗日子流形作为在适当拓扑下光滑精确拉格朗日子流形的极限，推广了精确性的概念。
• 通过使用插值于纤维与拉格朗日子流形之间的哈密顿量H的延续法，构造广义图选择子。
• 采用伪全纯曲线的C0有界性（引理7.2）及参数化作用泛函，以控制谱不变量。
• 推导出关键不等式（7.5），将作用差与基流形中的距离联系起来，从而导出选择子的Lipschitz连续性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为T*M中的一般紧致精确拉格朗日子流形（而不仅是与零截面哈密顿同伦的）构造图选择子？
• RQ2 在缺乏光滑性的情况下，何种精确拉格朗日子流形的推广形式可使选择子保持C0连续？
• RQ3 如何利用拉格朗日本质谱不变量表征Tonelli哈密顿系统的Aubry集与Mañé集？
• RQ4 谱不变量能否用于证明选择子函数的Lipschitz连续性？
• RQ5 谱不变量在多大程度上控制了Tonelli哈密顿系统的动力学，特别是与不变拉格朗日子流形的关系？

主要发现

• 本文证明了T*M中每个紧致、光滑、精确拉格朗日子流形均存在图选择子（定理1.2）。
• 引入了Lipschitz-精确拉格朗日子流形类，并证明任一紧致此类拉格朗日子流形均存在广义图选择子（定理5.2）。
• 图选择子函数f满足 |f(q1) - f(q0)| ≤ R1 d(q0, q1)，证明了其Lipschitz连续性，常数R1依赖于环境空间的几何结构。
• 该构造通过谱不变量与图选择子，为Tonelli哈密顿系统的Aubry集与Mañé集提供了新表征。
• 该方法推广了Arnaud关于在Tonelli流下不变的拉格朗日子流形的结果，表明此类不变性可反映在相关弗洛尔复形的谱不变量中。
• 推导出关键不等式 AH(x1) - AH(x0) ≤ R1(d(q0, q1) + ε)，在取ε → 0后，该不等式控制了作用差并导出Lipschitz界。