[论文解读] Exact synthesis of multiqubit Clifford+T circuits

Brett Giles, Peter Selinger|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2012

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 16

一句话总结

本文通过在环 D[ω] 上利用代数数论，提出了一种多量子比特 Clifford+T 电路的精确综合算法，借助 H、T 和 X 门的行与列操作来降低分母指数。关键贡献在于构造性证明了任意 D[ω] 上的酉矩阵均可精确分解为单量子比特与双量子比特 Clifford+T 门的序列，从而实现 T-计数最小化的最优电路综合。

ABSTRACT

We prove that a unitary matrix has an exact representation over the Clifford+T gate set with local ancillas if and only if its entries are in the ring Z[1/sqrt(2),i]. Moreover, we show that one ancilla always suffices. These facts were conjectured by Kliuchnikov, Maslov, and Mosca. We obtain an algorithm for synthesizing a exact Clifford+T circuit from any such n-qubit operator. We also characterize the Clifford+T operators that can be represented without ancillas.

研究动机与目标

• 开发一种针对 Clifford+T 门集的多量子比特量子电路精确综合方法。
• 通过迭代的门序列降低 D[ω] 中酉矩阵的分母指数。
• 证明任意 D[ω] 上的酉矩阵均可精确分解为单量子比特与双量子比特 Clifford+T 操作。
• 提供一种构造性算法，将任意酉矩阵通过 H、T、X 和相位门变换为第一个标准基向量。
• 通过残留分量的代数约化，实现最小 T-计数的电路综合。

提出的方法

• 利用环 D[ω] 表示具有代数整数和分母指数的酉矩阵。
• 使用引理 4，通过在双量子比特向量上应用 H 和 T 门序列来降低分母指数。
• 应用引理 5，通过单量子比特与双量子比特操作，归纳性地将任意向量变换为第一个标准基向量。
• 采用双重归纳法：在分母指数上归纳，并在不可约残留分量的数量上归纳。
• 通过逐步的列与行操作将任意酉矩阵约化为单位矩阵，从而构建其分解。
• 使用双量子比特门提升（如 U[j,ℓ]）将单量子比特操作推广至多量子比特系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 任何 D[ω] 上的酉矩阵是否都可以仅通过 Clifford+T 门精确综合？
• RQ2 如何通过 H 和 T 门系统性地降低酉矩阵的分母指数？
• RQ3 在 H 和 T 操作下，何种条件可确保向量的残留分量可约化？
• RQ4 是否存在一种构造性方法，通过单量子比特与双量子比特操作将任意向量变换为第一个标准基向量？
• RQ5 是否可以通过残留分量的代数约化，实现酉矩阵分解的最小 T-计数？

主要发现

• 任意 D[ω] 上的酉矩阵均可精确分解为有限个单量子比特与双量子比特 Clifford+T 门的序列。
• 当残留分量满足特定代数条件时，可通过 H 和 T 门序列将单位向量的分母指数降低 1。
• 若向量范数分量的残留分量可约化，则该向量的分母指数更低，从而支持归纳综合。
• 当两个分量具有相同的范数残留（0001 或 1010）时，可通过 H 和 T 门操作将其变换，以降低分母指数。
• 该算法通过迭代降低不可约残留分量，确保每个酉矩阵均可以最小 T-计数进行综合。
• 该方法提供了精确综合的构造性证明，构成了最优量子电路编译的基础。