[论文解读] Exact Time-Dependent Solution to the Three-Dimensional Euler- Helmholtz and Riemann-Hopf Equations for Vortex Flow of a Compressible Medium and the Sixth Millennium Prize Problem

S. G. Chefranov, S. G. Chefranov|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2017

Navier-Stokes equation solutions参考文献 30被引用 3

一句话总结

本文首次给出了可压缩理想流体中三维欧拉-赫尔姆霍兹方程与黎曼-霍夫方程在涡流情况下的精确时变解，证明了在特定条件下，涡度平方在有限时间内形成奇点。该研究精确解决了湍流理论的核心问题，并通过引入粘性或摩擦，为可压缩纳维-斯托克斯方程提供了光滑且全局可延拓的解，从而正面回应了千禧年大奖难题的一个广义版本。

ABSTRACT

For the first time the exact vortex solution of the Cauchy problem in unbounded space is obtained for the three-dimensional Euler-Helmholtz (EH) equation in the case of a nonzero-divergence velocity field for an ideal compressible medium. The solution obtained describes the inertial vortex motion and coincides with the exact solution to the three-dimensional Riemann-Hopf (RH) equation which simulates turbulence without pressure [Chefranov, 1991]. A necessary and sufficient condition of the onset of a singularity in the evolution of the enstrophy in finite time t=t0 is obtained for this solution when its continuation is possible in times t>=t0 in the Sobolev space H^0(R^3) but cannot be made in H^1(R^3). A closed description of the evolution of the enstrophy and the all other moments of the velocity and vortex fields is given, i.e., the main problem of theory of turbulence is solved exactly. The possibility of continuation of the obtained smooth solution to the EH an RH equations in the Sobolev space H^q(R^3) is also demonstrated for any q>=1 and t>=t0 due to introduction of a fairly large homogeneous friction or by introducing an arbitrary small effective volume viscosity. A new analytic solution of the Cauchy problem for the three-dimensional Navier-Stokes (NS) equation is obtained. This solution coincides with the above-mentioned smooth solution to the EH and RH equations, which take into account the viscosity effect of a compressible medium and also the sufficient condition of positive definiteness of the growth rate of the entropy in the form of a linear relation between the pressure and the divergence of the velocity field. This gives the positive solution to the generalization of the Millennium Prize Problem on the compressible Navier-Stokes equation where only the modification of viscous force is used (by introduction of homogeneous friction and etc.).

研究动机与目标

• 推导可压缩理想流体中三维欧拉-赫尔姆霍兹方程的精确时变解，其速度场非散度且非零。
• 在索博列夫空间 H^0(R^3) 中建立涡度平方在有限时间内形成奇点的充要条件，但该奇点在 H^1(R^3) 中不成立。
• 对速度场与涡度场所有矩的演化提供闭式描述，从而精确求解湍流理论的核心问题。
• 通过均匀摩擦或有效体积粘性，将欧拉-赫尔姆霍兹与黎曼-霍夫方程的光滑解扩展至所有 q ≥ 1 的索博列夫空间 H^q(R^3) 及 t ≥ t₀ 的时间区间。
• 构建三维可压缩纳维-斯托克斯方程的新解析解，满足熵增长条件，并解决千禧年大奖难题的一种广义形式。

提出的方法

• 推导可压缩理想流体中无界空间内三维欧拉-赫尔姆霍兹方程的精确涡流解，其速度场非散度。
• 利用索博列夫空间分析，识别出临界时间 t₀，在此时间点，涡度平方在 H^1(R^3) 中演化出现奇点，但在 H^0(R^3) 中仍保持有限。
• 引入均匀摩擦或任意小的有效体积粘性，以确保解在所有 q ≥ 1 和 t ≥ t₀ 的 H^q(R^3) 空间中全局延续。
• 证明所得解满足熵增长条件，表现为压力与速度散度之间的线性关系，从而保证热力学一致性。
• 建立修改后的欧拉-赫尔姆霍兹/黎曼-霍夫解与可压缩纳维-斯托克斯方程新精确解之间的等价性，条件为相同的粘性和熵增长关系。
• 将黎曼-霍夫方程用作无压湍流模型，通过其精确解与欧拉-赫尔姆霍兹系统的匹配关系加以验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无界空间中，可压缩理想流体、非散度速度场的三维欧拉-赫尔姆霍兹方程的精确时变解是什么？
• RQ2 在何种条件下，解的涡度平方在 H^1(R^3) 中于有限时间内形成奇点，而在 H^0(R^3) 中保持有界？
• RQ3 该解能否在 t ≥ t₀ 的时间区间内在更高阶索博列夫空间 H^q(R^3)（q ≥ 1）中实现全局延拓？
• RQ4 如何将欧拉-赫尔姆霍兹与黎曼-霍夫方程的光滑解扩展为满足物理一致性的可压缩纳维-斯托克斯方程的解？
• RQ5 所提出的解是否满足熵增长率为正的条件，即以压力与散度之间的线性关系形式呈现？

主要发现

• 本文首次推导出可压缩理想流体中无界空间内三维欧拉-赫尔姆霍兹方程的精确时变解，其速度场为非散度场。
• 建立了涡度平方在有限时间内形成奇点的充要条件，该奇点出现在时间 t₀，此时解仍属于 H^0(R^3)，但无法在 H^1(R^3) 中继续延拓。
• 对速度场与涡度场所有矩的演化提供了闭式描述，从而精确求解了湍流理论的根本问题。
• 通过引入均匀摩擦或有效体积粘性，解在所有满足 q ≥ 1 的索博列夫空间 H^q(R^3) 中实现了 t ≥ t₀ 的全局时间延拓。
• 构建了三维可压缩纳维-斯托克斯方程的新精确解，其与黏性欧拉-赫尔姆霍兹/黎曼-霍夫解一致，并满足熵增长条件。
• 该解通过粘性修改，为可压缩纳维-斯托克斯方程的千禧年大奖难题提供了一个广义版本的正面解答，无需引入新的力项。