[论文解读] Existence and classification of overtwisted contact structures in all dimensions

Matthew Strom Borman, Yakov Eliashberg+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 18被引用 7

一句话总结

该论文在所有奇数维中建立了对扭接触结构的参数化 h-原理，证明了任意闭流形上的几乎接触结构都同伦等价于一个真实的对扭接触结构。其关键贡献是通过对称空间的同伦群，对球面上的对扭接触结构进行了完全分类，表明在某些球面上存在有限多个，而在其他球面上则存在无限多个。

ABSTRACT

We establish a parametric extension $h$-principle for overtwisted contact structures on manifolds of all dimensions, which is the direct generalization of the $3$-dimensional result from \cite{Eli89}. It implies, in particular, that any closed manifold admits a contact structure in any given homotopy class of almost contact structures.

研究动机与目标

• 在所有奇数维流形中建立对扭接触结构的参数化 h-原理。
• 通过将格罗莫夫的 h-原理推广到对扭情形，解决闭流形上接触结构的存在性问题。
• 利用 $ SO(2n+2)/U(n+1) $ 的同伦群，对球面 $ S^{2n+1} $ 上的对扭接触结构进行分类。
• 通过在分片光滑的 $ 2n $-圆盘上使用一个模型接触芽，将对扭性的概念从三维流形推广到所有奇数维。
• 研究对扭接触流形的可序性，证明其并非弱可序的。

提出的方法

• 通过在分片光滑的 $ 2n $-圆盘 $ D_{ ext{ot}} $ 上引入一个模型芽 $ heta_{ ext{ot}} $，推广所有奇数维中的对扭接触结构。
• 证明对扭接触结构的参数化 h-原理：任意闭流形上的几乎接触结构都同伦等价于一个真实的对扭接触结构。
• 使用包含映射 $ j: ext{Cont}_{ ext{ot}}(M;A, heta_0) o ext{cont}(M;A, heta_0) $，并证明其为弱同伦等价。
• 通过黎布流构造 $ (M imes D^2_R, heta + xdy - ydx) $ 到 $ (M imes R^2 ackslash 0, heta + xdy - ydx) $ 的接触嵌入，证明当 $ R $ 足够大时具有对扭性。
• 应用 h-原理，证明在闭流形上任意几乎接触结构同伦类中均存在对扭接触结构。
• 利用接触同伦延拓定理，以及存在从 $ V^+(2K) $ 到 $ V^+(K) $ 的接触同伦，证明对扭流形不可弱序。

实验结果

研究问题

• RQ1 对扭接触结构的参数化 h-原理能否从三维流形推广到所有奇数维流形？
• RQ2 对扭接触结构在球面 $ S^{2n+1} $ 上的分类，其同伦不变量是什么？
• RQ3 对扭接触流形在接触哈密顿动力学意义下是否弱可序？
• RQ4 若闭流形上存在几乎接触结构，是否意味着存在接触结构？若是，其在对扭类中是否唯一（同伦意义下）？
• RQ5 对扭性在与曲面或更高维流形的积下如何表现？

主要发现

• 任意闭 $ (2n+1) $-流形上的几乎接触结构都同伦等价于一个真实的对扭接触结构，从而在所有奇数维中建立了完整的 h-原理。
• 在流形 $ M $ 上，与固定接触结构在闭子集 $ A $ 附近一致的对扭接触结构空间，与在相同数据下一致的几乎接触结构空间之间，存在弱同伦等价。
• 在 $ S^5 $ 上，存在唯一的对扭接触结构；而在 $ S^{8k+1} $ 上，恰好存在 $ (4k)! $ 个不同的对扭接触结构。
• 在 $ S^{8k+5} $ 上，存在 $ rac{(4k+2)!}{2} $ 个不同的对扭接触结构；在 $ S^{8k+3} $ 上，存在 $ Z imes Z/2Z $ 个这样的结构。
• 所有闭的对扭接触流形均不可弱序，通过构造从 $ V^+(2K) $ 到 $ V^+(K) $ 的同伦，表明弱序关系是平凡的。
• 高维流形上紧致接触结构的分类仍是开放问题，尽管在 $ S^5 $ 上存在无限多个。