[论文解读] Planar Contact Structures with Binding Number Three

M. Firat Arikan|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2007

Geometric and Algebraic Topology参考文献 19被引用 6

一句话总结

该论文对具有三个边界分量（即绑定数为三）的平面开书支持的接触3-流形进行了分类，通过单值变换映射识别紧致与扭结接触结构。它提供了此类接触结构在同痕下的完整列表，利用第一陈类和 $d_3$-不变量加以区分，并证明紧致性恰好对应于单值变换中非负的德恩扭转指数。

ABSTRACT

In this article, we find the complete list of all contact structures (up to isotopy) on closed three-manifolds which are supported by an open book decomposition having planar pages with three (but not less) boundary components. We distinguish them by computing their first Chern classes and three dimensional invariants (whenever possible). Among these contact structures we also distinguish tight ones from those which are overtwisted.

研究动机与目标

• 对绑定数为三的接触3-流形在同痕下进行完整分类。
• 利用拓扑不变量区分该类中的紧致与扭结接触结构。
• 计算分类中每种接触结构的第一陈类和 $d_3$-不变量。
• 建立由具有平面页和三个边界分量的开书支持的此类接触结构的完整列表。
• 确定单值变换映射产生紧致或扭结接触结构的条件。

提出的方法

• 使用沿边界平行曲线的德恩扭转 $D_a^p D_b^q D_c^r$ 参数化具有三个边界分量的平面开书的单值变换映射。
• 通过对应于每个单值变换映射的接触手术图构造接触结构。
• 利用吉罗克斯对应定理将开书分解与接触结构关联起来。
• 通过庞加莱-李特尔伍德对偶性和链接矩阵中的子午线类计算第一陈类 $c_1(\xi)$。
• 利用从链接矩阵导出的斯坦填充的亏格和欧拉示性数计算 $d_3$-不变量。
• 对 $H_1$ 有限的情形应用公式 $d_3(\xi) = \frac{8pqr + p^2q + p^2r + 4pq^2 + 4qr^2 - pr^2 - q^2r - pq - pr - qr}{4pq + 4pr + 4qr}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在同痕下，具有绑定数三的接触3-流形的完整列表是什么？
• RQ2 这些接触结构中哪些是紧致的，哪些是扭结的？
• RQ3 如何计算此类接触结构的第一陈类和 $d_3$-不变量？
• RQ4 单值变换映射 $D_a^p D_b^q D_c^r$ 的哪些条件决定紧致性？
• RQ5 不变量 $c_1$ 和 $d_3$ 如何区分同一底流形上的接触结构？

主要发现

• 所有由具有三个边界分量的平面开书支持的接触结构，微分同痕于 $Y(p,q,r)$ 上的接触结构 $\xi_{p,q,r}$，其由手术图给出。
• 当且仅当 $p \geq 0$，$q \geq 0$，且 $r \geq 0$ 时，接触结构 $\xi_{p,q,r}$ 是紧致的（且为全纯填充的）。
• 当 $p, q, r$ 不全为非负时，$\xi_{p,q,r}$ 是扭结的。
• 第一陈类满足 $c_1(\xi_{p,q,r}) = PD^{-1}(|r| \mu_1)$，其中 $\mu_1$ 是 $r$-族的子午线类。
• 当 $H_1$ 有限时，$d_3$-不变量由有理函数 $d_3(\xi_{p,q,r}) = \frac{8pqr + p^2q + p^2r + 4pq^2 + 4qr^2 - pr^2 - q^2r - pq - pr - qr}{4pq + 4pr + 4qr}$ 给出。
• 当链接矩阵的行列式为零时，$H_1$ 无限，且除非 $c_1$ 为挠类，否则 $d_3$ 未定义，需特殊处理。