[论文解读] Fair Division Under Cardinality Constraints

Siddharth Barman, Arpita Biswas|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2018

Game Theory and Voting Systems参考文献 21被引用 28

一句话总结

本文证明了在不可分物品的公平分配中，当存在基数约束时，对一个物品的 envy-freeness（EF1）和近似最大最小份额（MMS）公平性保证仍然可以保持。作者开发了高效的算法，通过结合轮换法与嫉妒图技术，实现 EF1 和近似 MMS 分配，即使在估值相同时，也证明了在层状拟阵约束下此类分配的存在性与可计算性。

ABSTRACT

We consider the problem of fairly allocating indivisible goods, among agents, under cardinality constraints and additive valuations. In this setting, we are given a partition of the entire set of goods---i.e., the goods are categorized---and a limit is specified on the number of goods that can be allocated from each category to any agent. The objective here is to find a fair allocation in which the subset of goods assigned to any agent satisfies the given cardinality constraints. This problem naturally captures a number of resource-allocation applications, and is a generalization of the well-studied (unconstrained) fair division problem. The two central notions of fairness, in the context of fair division of indivisible goods, are envy freeness up to one good (EF1) and the (approximate) maximin share guarantee (MMS). We show that the existence and algorithmic guarantees established for these solution concepts in the unconstrained setting can essentially be achieved under cardinality constraints. Specifically, we develop efficient algorithms which compute EF1 and approximately MMS allocations in the constrained setting. Furthermore, focusing on the case wherein all the agents have the same additive valuation, we establish that EF1 allocations exist and can be computed efficiently even under laminar matroid constraints.

研究动机与目标

• 为填补公平分配研究中的空白，研究在基数限制下对不可分物品的受限分配问题。
• 将 EF1 和 MMS 的公平性概念扩展到每个代理从每个类别最多接收指定数量物品的场景。
• 在这些约束下建立公平分配的存在性与高效计算方法，尤其针对可加性和相同估值的情形。
• 将公平性保证推广至非受限场景之外，特别是在课程分配和资源共享等现实应用中。
• 探索在更复杂的约束（如层状拟阵结构）下，公平性是否仍可维持。

提出的方法

• 通过整合嫉妒图分析，改进轮换算法，以在遵守基数约束的同时维持 EF1 公平性。
• 采用基于交换的迭代过程，降低违规集合中最高价值组合的价值，确保在多项式时间内收敛。
• 通过将受限可加公平分配问题约化为无约束的下可加性估值问题，以计算近似 MMS 分配。
• 利用在相同可加估值下，EF1 分配存在且可在层状拟阵约束下高效计算的事实。
• 维护一个未能满足 EF1 的组合违规集合，并仅在可通过物品转移降低该集合中最高价值组合的价值时才更新分配。
• 确保一旦某个组合不再属于违规集合，它将始终保持在该集合之外，且任一组合作为最高价值违规组合的次数均被多项式有界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在每个类别物品的基数约束下，EF1 分配是否存在？
• RQ2 在存在基数约束的情况下，能否高效计算 EF1 分配？
• RQ3 在施加基数约束时，近似 MMS 分配是否存在，且能否高效计算？
• RQ4 当代理具有相同估值时，公平性是否在更一般的约束（如层状拟阵约束）下仍被保持？
• RQ5 无约束公平分配算法能否被调整以在结构约束下维持公平性？

主要发现

• 在每个类别物品的基数约束下，EF1 分配保证存在，并且可在多项式时间内计算。
• 所提出的算法确保每个代理获得的组合满足基数限制，同时通过基于物品交换的迭代价值平衡实现 EF1 公平性。
• 在相同可加估值下，即使在层状拟阵约束下，EF1 分配也存在且可高效计算。
• 通过约化为下可加性估值问题，可在基数约束下以多项式时间计算出至少达到 2/3 最大最小份额的近似 MMS 分配。
• 该算法在多项式时间内终止，因为每个组合作为最高价值违规组合的次数仅受多项式有界，原因在于价值的乘法减少或基数的减少。
• 在基数约束下，EF1 分配的存在性具有鲁棒性，因为算法在每一步均保持或提升公平性，且不会重新引入先前已解决的违规。